y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+6 y=1+e^{-t} \quad y(0)=0 ; y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
y'' + 4y' + 6y = 1 + e^{-t}, \quad y(0)=0,\;y'(0)=0.
É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos resolver em duas etapas: (i) achar a solução geral da homogênea e (ii) construir uma solução particular para cada termo do segundo membro. Depois aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' + 4y' + 6y = 0.
A equação característica é
r^2 + 4r + 6 = 0,
cuja raiz é
r = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 24}}{2} = -2 \pm i\sqrt{2}.
Logo a solução homogênea é
y_h(t) = e^{-2t}\Bigl(C_1\cos(\sqrt{2}\,t) + C_2\sin(\sqrt{2}\,t)\Bigr).

Passo 3

Para a parte particular relativa ao termo constante 1, tentamos
y_{p1} = A,
onde A é constante. Substituindo em y''+4y'+6y=1 vem
6A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac{1}{6}.

Passo 4

Para a parte particular relativa a e^{-t}, tentamos
y_{p2} = B e^{-t}.
Calculamos y_{p2}' = -B e^{-t}, y_{p2}'' = B e^{-t} e substituímos em
y'' + 4y' + 6y = e^{-t}.
Isso dá
\bigl(B - 4B + 6B\bigr)e^{-t} = 3B\,e^{-t} = e^{-t} \quad\Longrightarrow\quad B = \tfrac{1}{3}.

Passo 5

A solução particular total é
y_p(t) = y_{p1} + y_{p2} = \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{3}e^{-t}.
Logo a solução geral da EDO é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = e^{-2t}\Bigl(C_1\cos(\sqrt{2}\,t) + C_2\sin(\sqrt{2}\,t)\Bigr) + \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{3}e^{-t}.

Passo 6

Aplicamos y(0)=0 e y'(0)=0.
Em t=0 temos
y(0) = C_1 + \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{3} = C_1 + \tfrac{1}{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = -\tfrac{1}{2}.
Agora derivando
y'(t) = e^{-2t}\bigl[-2C_1\cos(\sqrt{2}t)-2C_2\sin(\sqrt{2}t) -\sqrt{2}\,C_1\sin(\sqrt{2}t)+\sqrt{2}\,C_2\cos(\sqrt{2}t)\bigr] - \tfrac{1}{3}e^{-t},
em t=0
y'(0) = -2C_1 + \sqrt{2}\,C_2 - \tfrac{1}{3} = 0.
Substituindo C_1=-\tfrac{1}{2} vem
1 + \sqrt{2}\,C_2 - \tfrac{1}{3} = 0 \;\Longrightarrow\; \tfrac{2}{3} + \sqrt{2}\,C_2 = 0 \;\Longrightarrow\; C_2 = -\tfrac{\sqrt{2}}{3}.

Resposta

\boxed{y(t)=e^{-2t}\Bigl(-\tfrac12\cos(\sqrt{2}\,t)\;-\;\tfrac{\sqrt{2}}{3}\sin(\sqrt{2}\,t)\Bigr) \;+\;\tfrac{1}{6}\;+\;\tfrac{1}{3}e^{-t}.}

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