Dada a regra
abaixo, encontre o conjunto
que é o maior domínio possível em que se pode definir a função
por
. Além disso, esboce o gráfico dessa função.
Passo 1
A questão pede o maior domínio e o esboço do gráfico de y = f(x) =
. Isso envolve entender onde a função não está definida e como ela se comporta em cada região.
Passo 2
Para achar o domínio, reparo que não posso dividir por zero. O denominador é (x−1)(x−3), então exijo (x−1)(x−3) ≠ 0. Isso dá x ≠ 1 e x ≠ 3. Logo o domínio é todos os reais, exceto 1 e 3.
Passo 3
Agora identifico as assíntotas. Como x→1 ou x→3 o denominador vai a zero, tenho assíntotas verticais em x = 1 e x = 3. Para x→±∞ a função vai a zero (grau do denominador maior que do numerador), então assíntota horizontal em y = 0.
Passo 4
Estudo o sinal de f(x) em cada intervalo: em (-∞,1), x−1 < 0 e x−3 < 0, o produto é positivo, então f(x)>0; em (1,3), x−1 > 0 e x−3 < 0, produto negativo, f(x)<0; em (3,∞), ambos positivos, f(x)>0.
Passo 5
Busco alguns pontos para orientar o desenho: f(0) = 1/((−1)(−3)) = 1/3; f(2) = 1/((1)(−1)) = −1; f(4) = 1/((3)(1)) = 1/3. Além disso, descrevo o comportamento junto às assíntotas: por exemplo, x→1⁻ faz f→+∞ e x→1⁺ faz f→−∞, e de modo análogo em x→3.
Passo 6
No esboço, traço as linhas pontilhadas x=1, x=3 e y=0. Depois desenho três ramos: um acima do eixo em (-∞,1) subindo para +∞ em x=1⁻ e caindo para 0 em x→−∞; um abaixo do eixo em (1,3) indo de −∞ em x=1⁺ até −∞ em x=3⁻; e outro acima do eixo em (3,∞), indo de +∞ em x=3⁺ até 0 em x→+∞.
Resposta
O maior domínio é
. O gráfico tem assíntotas verticais em
e
, assíntota horizontal em
, ramos positivos em (-∞,1) e (3,∞) e ramo negativo em (1,3).