Descreva o conjunto de pontos z no plano complexo que satisfazem a equação dada.
barz=z^-1

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os pontos z no plano complexo tais que z=z^-1. O conteúdo aqui envolve operações com números complexos: conjugação, inverso multiplicativo e módulo.

Passo 2

Vamos escrever z em termos de suas partes reais e imaginárias: z=x+iy. Então sua conjugada é z=x-iy e o inverso é dado por z^-1=dfrac1z=dfracz|z|^2, onde |z|^2=x^2+y^2.

Passo 3

Substituindo na equação z=z^-1 obtemos
x-iy = x-iyx^2+y^2
Multiplicando ambos os lados por x^2+y^2 resulta em
(x^2+y^2)(x-iy)=x-iy
que é
(x^2+y^2-1)(x-iy)=0

Passo 4

Para que o produto seja zero, ou x-iy=0 (o que dá z=0, mas aí z^-1 não existe) ou x^2+y^2-1=0. Logo descartamos z=0 e ficamos com
x^2+y^2=1,
o que equivale a |z|=1.

Resposta

O conjunto solução é a circunferência unitária: zinC:|z|=1.

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