A distância entre as retas r: X=(1,2,3)+\lambda(-1,2,3), \lambda \in \mathbb{R} e s: X=(-1,-2,1)+\alpha(-1,-4,5), \alpha \in \mathbb{R} é:
[scolha uma opção:
a. 2,13
b. 2,8
c. 0,36
d. 1,75
e. 3,7

Passo 1

O enunciado dá duas retas – r e s – em forma paramétrica no espaço e pede a distância entre elas. Esse problema usa a fórmula da distância entre retas reversas (não paralelas e não concorrentes):
d = \frac{\bigl|(Q - P)\cdot\bigl(d_r\times d_s\bigr)\bigr|}{\bigl\|d_r\times d_s\bigr\|}
onde P e d_r vêm de r, e Q e d_s vêm de s.

Passo 2

Identificamos ponto e vetor diretor de cada reta:
Para r:
P=(1,2,3) e d_r=(-1,2,3).
Para s:
Q=(-1,-2,1) e d_s=(-1,-4,5).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
d_r \times d_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -1 & 2 & 3 \\\\ -1 & -4 & 5 \end{vmatrix} = (22,\,2,\,6).

Passo 4

Determinamos o vetor que liga P a Q:
Q - P = (-1-1,\,-2-2,\;1-3) = (-2,\,-4,\,-2).

Passo 5

Calculamos o produto escalar (Q-P)\cdot(d_r\times d_s):
(-2,-4,-2)\cdot(22,2,6) = -2\cdot22 + (-4)\cdot2 + (-2)\cdot6 = -44 -8 -12 = -64.
O valor absoluto é \lvert -64\rvert =64.

Passo 6

A norma de d_r\times d_s é
\| (22,2,6)\| = \sqrt{22^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{484 + 4 + 36} = \sqrt{524} = 2\sqrt{131}.
Logo a distância é
d = \frac{64}{2\sqrt{131}} = \frac{32}{\sqrt{131}} \approx 2,80.

Resposta

b. 2,8

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