Dada a reta r: X=(2,1,-3)+t(2,-1,3), t \in \mathbb{R} e os pontos A=(2,3,4) e B=(1,-1,-3), ache o ponto de r equidistante de A e B.
Escolha uma opçăo:
a. \left(\frac{22}{3},-\frac{5}{3}, 5\right)
b. \left(\frac{86}{23}, \frac{3}{23},-\frac{9}{23}\right)
c. (14,-5,15)
d. \left(\frac{86}{19},-\frac{5}{19}, \frac{15}{19}\right)
e. \left(\frac{94}{21},-\frac{5}{21}, \frac{5}{7}\right)

Passo 1

Nesse exercício queremos o ponto em que a distância até A e até B é a mesma, mas restrito à reta
r:\;\mathbf X=(2,1,-3)+t\,(2,-1,3),\quad t\in\mathbb{R}.
O conteúdo principal é parametrização de reta e condição de equidistância (igualar distâncias ao quadrado).

Passo 2

Parametrizamos o ponto genérico \mathbf p(t) em r:
\mathbf p(t) = (2,1,-3) + t\,(2,-1,3) = (2+2t,\;1 - t,\;-3 +3t).

Passo 3

Calculamos as distâncias ao quadrado de \mathbf p(t) até A=(2,3,4) e B=(1,-1,-3). Primeiro
\|\mathbf p(t)-A\|^2 = (2t)^2 + (-2 - t)^2 + (-7 +3t)^2 = 4t^2 + (t+2)^2 + (3t-7)^2 = 14t^2 -38t +53,
e depois
\|\mathbf p(t)-B\|^2 = (1+2t)^2 + (2 - t)^2 + (3t)^2 = 4t^2+4t+1 + t^2 -4t+4 +9t^2 = 14t^2 +5.

Passo 4

Para ficarem equidistantes, igualamos os quadrados das distâncias:
14t^2 -38t +53 \;=\;14t^2 +5
que simplifica para
-38t +53 = 5 \quad\Longrightarrow\quad -38t = -48 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{24}{19}.

Passo 5

Agora basta substituir t=\tfrac{24}{19} em \mathbf p(t):
x = 2 + 2t = \frac{86}{19},\quad y = 1 - t = -\frac{5}{19},\quad z = -3 + 3t = \frac{15}{19}.
Logo o ponto buscado é \bigl(\tfrac{86}{19},\,-\tfrac{5}{19},\,\tfrac{15}{19}\bigr).

Resposta

d. \left(\frac{86}{19},-\frac{5}{19},\frac{15}{19}\right)

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