Dada a reta r:\left\{\begin{array}{l}x=1+2 t \\\ y=-t \\\ z=3-t\end{array}\right. e o plano \pi: x-y+z=0, determine o ângulo entre eles.
Passo 1
O enunciado dá a reta
r:\begin{cases} x = 1 + 2t,\\\ y = -t,\\\ z = 3 - t \end{cases}
e o plano
\pi: x - y + z = 0,
e pede o ângulo entre eles. O conteúdo aqui é geometria vetorial: vamos usar o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano e a relação entre o ângulo da reta e o plano.
Passo 2
Identificamos o vetor diretor da reta r. Pelas equações paramétricas, o vetor diretor é
\mathbf{d} = (2,\,-1,\,-1).
Passo 3
O plano \pi tem equação x - y + z = 0, de onde extraímos o vetor normal
\mathbf{n} = (1,\,-1,\,1).
Passo 4
Para achar o ângulo \varphi entre \mathbf{d} e \mathbf{n}, usamos o produto escalar: