1. Dada a reta r:\left\{\begin{array}{l}x=1+2 t \\\ y=-t \\\ z=3-t\end{array}\right. e o plano \pi: x-y+z=0, determine o ângulo entre eles.

Passo 1

O enunciado dá a reta
r:\begin{cases} x = 1 + 2t,\\\ y = -t,\\\ z = 3 - t \end{cases}
e o plano
\pi: x - y + z = 0,
e pede o ângulo entre eles. O conteúdo aqui é geometria vetorial: vamos usar o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano e a relação entre o ângulo da reta e o plano.

Passo 2

Identificamos o vetor diretor da reta r. Pelas equações paramétricas, o vetor diretor é
\mathbf{d} = (2,\,-1,\,-1).

Passo 3

O plano \pi tem equação x - y + z = 0, de onde extraímos o vetor normal
\mathbf{n} = (1,\,-1,\,1).

Passo 4

Para achar o ângulo \varphi entre \mathbf{d} e \mathbf{n}, usamos o produto escalar:
\cos\varphi = \frac{|\mathbf{d}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{d}\|\;\|\mathbf{n}\|}.
Calculamos:
\mathbf{d}\cdot\mathbf{n} = 2\cdot1 + (-1)\cdot(-1) + (-1)\cdot1 = 2 + 1 - 1 = 2,
\|\mathbf{d}\| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}, \quad \|\mathbf{n}\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3},
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\cos\varphi = \frac{2}{\sqrt{6}\,\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{\sqrt{2}}{3}.

Passo 5

O ângulo \alpha entre a reta e o plano é o complementar de \varphi:
\alpha = 90^\circ - \varphi,
portanto
\sin\alpha = \cos\varphi = \frac{\sqrt{2}}{3},
ou seja
\alpha = \arcsin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{3}\bigr)\approx28,1^\circ.

Resposta

\alpha = \arcsin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{3}\bigr)\approx28,1^\circ

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