1. Determine o ângulo entre os planos x+y+z=1 e x-2 y+3 z=4.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre os planos
x + y + z = 1
e
x - 2y + 3z = 4.
O conteúdo envolvido é geometria analítica no espaço: o ângulo entre dois planos é definido como o ângulo entre seus vetores normais. Para resolver, vamos extrair os normais, usar produto escalar e norma de vetores, e aplicar
\cos(\theta) = \frac{\bigl|\,\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2\bigr|}{\|\mathbf{n}_1\|\;\|\mathbf{n}_2\|}.

Passo 2

Dos coeficientes dos planos obtemos os vetores normais:
\mathbf{n}_1 = (1,\,1,\,1), \quad \mathbf{n}_2 = (1,\,-2,\,3).

Passo 3

Calculamos o produto escalar e as normas:
\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2 = 1\cdot1 + 1\cdot(-2) + 1\cdot3 = 1 - 2 + 3 = 2,
\|\mathbf{n}_1\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}, \quad \|\mathbf{n}_2\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{14}.

Passo 4

Substituindo em
\cos(\theta) = \frac{|2|}{\sqrt{3}\,\sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{42}},
temos
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2}{\sqrt{42}}\bigr).

Resposta

\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2}{\sqrt{42}}\bigr).

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