1. Determine o ângulo entre a reta r: \vec{r}(t)=(1,2,0)+t(2,1,3) e o plano x+y+z=6.

Passo 1

O enunciado dá a reta
\vec r(t) = (1,2,0) + t\,(2,1,3)
e o plano
x + y + z = 6.
Queremos o ângulo \theta entre a reta e o plano. Para isso precisamos da direção da reta, digamos \vec v, e do vetor normal ao plano, digamos \vec n. Usaremos produto escalar e normas, e a fórmula
\sin\theta = \frac{\bigl|\vec n\cdot\vec v\bigr|}{\|\vec n\|\;\|\vec v\|}.

Passo 2

Identificamos
\vec v = (2,1,3),
pois é o coeficiente de t na reta, e
\vec n = (1,1,1),
que vem dos coeficientes de x,y,z na equação do plano.

Passo 3

Calculamos o produto escalar e as normas:
\vec n\cdot\vec v = 1\cdot2 + 1\cdot1 + 1\cdot3 = 6,
\|\vec n\| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3},
\|\vec v\| = \sqrt{2^2+1^2+3^2} = \sqrt{14}.

Passo 4

Pela fórmula do ângulo entre reta e plano, vale
\sin\theta = \frac{\bigl|\vec n\cdot\vec v\bigr|}{\|\vec n\|\;\|\vec v\|} = \frac{6}{\sqrt{3}\,\sqrt{14}} = \frac{6}{\sqrt{42}} = \frac{\sqrt{42}}{7}.

Passo 5

Logo
\theta = \arcsin\!\biggl(\frac{6}{\sqrt{42}}\biggr) \approx 68^\circ.

Resposta

\displaystyle \theta = \arcsin\!\bigl(\tfrac{6}{\sqrt{42}}\bigr)\approx 68^\circ.

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