Dada a reta r: x+2 y+8=0, determine a reta s , sabendo que s é perpendicular a r e com origem no ponto A (1,2).
A) s: x+y=0
B) s: x-y=0
C) s: 2 x-y=0
D) s: 2 x+y-2=0
E) s: 2 x-y+2=0

Passo 1

O enunciado dá a reta r e pede uma reta s que satisfaça duas condições: ser perpendicular a r e passar pelo ponto A(1,2). Informações relevantes:
r: x+2y+8=0
Ponto dado:
A=(1,2)
Alternativas fornecidas:
A) s: x+y=0
B) s: x-y=0
C) s: 2x-y=0
D) s: 2x+y-2=0
E) s: 2x-y+2=0

Passo 2

Para encontrar s precisamos do coeficiente angular (inclinação) de r. Uma reta escrita na forma geral Ax+By+C=0 pode ser isolada em função de y assim:
By=-Ax-C\quad\Rightarrow\quad y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}.
Dessa forma, o coeficiente angular (slope) é
m=-\frac{A}{B},
onde A e B são os coeficientes da forma geral. Aplicando isso à reta r, temos A=1 e B=2, então
m_r=-\frac{1}{2}.
Explicação curta: o coeficiente angular é o número que multiplica x quando escrevemos y em função de x. Aqui y=-\tfrac{1}{2}x+ constante, então a inclinação é -\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Quando duas retas são perpendiculares (nem uma é vertical/horizontal degenerada), seus coeficientes angulares m_1 e m_2 satisfazem
m_1\cdot m_2=-1.
Isto significa que o coeficiente angular da reta perpendicular é o negativo do recíproco do outro. Ou seja, se m_r=-\tfrac{1}{2}, o coeficiente angular m_s da reta perpendicular s é
m_s=-\frac{1}{m_r}=-\frac{1}{-\tfrac{1}{2}}=2.
Verificação rápida: \left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot 2=-1, ok.

Passo 4

Agora usamos a fórmula da reta passando por um ponto com coeficiente angular dado (fórmula ponto-inclinação):
y-y_0=m(x-x_0),
onde (x_0,y_0) é o ponto conhecido e m é o coeficiente angular. Substituindo m=2 e A=(1,2) temos:
y-2=2(x-1).
Desenvolvendo:
y-2=2x-2
\Rightarrow 2x-y=0.
Portanto, a equação reduzida da reta s é \;2x-y=0.

Passo 5

Comparamos a equação obtida \;2x-y=0 com as alternativas fornecidas e vemos que ela corresponde a uma das opções listadas.

Resposta

C) s: 2x-y=0

Exercícios relacionados