Se
, então
é:
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a sua derivada
. As alternativas fornecidas são:
A)
B)
C) ;
D)
E)
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a função de uma forma que facilite derivar. Lembre-se que a raiz quadrada pode ser escrita como potência de expoente
. Assim,
Isso é só uma maneira equivalente e útil de ver a função.
Passo 3
Agora uma aulinha rápida (curta e prática) sobre regras de derivação que vamos usar:
- Regra da potência (para uma função simples): se
, então
Aqui
é qualquer número real; por exemplo, se
então a derivada de
é
.
- Regra da cadeia (quando temos uma função composta): se
com dependente de , então
Ou seja: deriva a potência deixando o expoente na frente e multiplica pela derivada do “interior”
.
Essas são as únicas regras que vamos combinar aqui.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia com
e expoente
, temos
. Então
Expliquei cada termo:
vem de derivar a potência
e o fator
vem de derivar
.
Passo 5
Agora simplificamos a expressão obtida:
Substituindo
obtemos
Podemos manipular algebricamente para outras formas úteis. Como
, temos
Multiplicando numerador e denominador por
obtemos também
Todas essas formas são equivalentes e são formas boas de comparar com as alternativas.
Passo 6
Vamos comparar a nossa resposta simplificada com cada alternativa (vou simplificar cada alternativa para ver se bate):
A)
(constante). Não coincide com nossa expressão, que depende de
.
B)
. Nossa forma era
. Os fatores
e
são diferentes, logo não coincidem.
C)
. Não é igual a
.
D)
claramente não é a derivada (é a função original).
E)
é linear em
, não coincide com nossa expressão.
Concluindo: nenhuma das alternativas A–E é algebraicamente igual a
Resposta
Nenhuma das alternativas está correta.