Se h(x)=\sqrt{5 x}, então h^{\prime}(x) é:
A) h^{\prime}(x)=\frac{\sqrt{5 x}}{5 \sqrt{x}}
B) h^{\prime}(x)=\frac{\sqrt{5 x}}{5 x}
C) h^{\prime}(x)=\frac{5 \sqrt{x}}{x}
D) h^{\prime}(x)=\sqrt{5 x}
E) h^{\prime}(x)=\frac{x \sqrt{5}}{5}

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=\sqrt{5 x} e pede a sua derivada h'(x). As alternativas fornecidas são:
A) \;h^{\prime}(x)=\frac{\sqrt{5 x}}{5 \sqrt{x}}
B) \;h^{\prime}(x)=\frac{\sqrt{5 x}}{5 x}
C) ; h^{\prime}(x)=\frac{5 \sqrt{x}}{x}
D) \;h^{\prime}(x)=\sqrt{5 x}
E) \;h^{\prime}(x)=\frac{x \sqrt{5}}{5}

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a função de uma forma que facilite derivar. Lembre-se que a raiz quadrada pode ser escrita como potência de expoente 1/2. Assim,
h(x)=\sqrt{5x}=(5x)^{1/2}=\sqrt{5}\,x^{1/2}.
Isso é só uma maneira equivalente e útil de ver a função.

Passo 3

Agora uma aulinha rápida (curta e prática) sobre regras de derivação que vamos usar:
  1. Regra da potência (para uma função simples): se f(x)=x^{n}, então
f'(x)=n x^{n-1}.
Aqui n é qualquer número real; por exemplo, se n=\tfrac{1}{2} então a derivada de x^{1/2} é \tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
  1. Regra da cadeia (quando temos uma função composta): se F(x)=u(x)^{n} com u dependente de x, então
F'(x)=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Ou seja: deriva a potência deixando o expoente na frente e multiplica pela derivada do “interior” u(x).
Essas são as únicas regras que vamos combinar aqui.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia com u(x)=5x e expoente n=\tfrac{1}{2}, temos u'(x)=5. Então
h'(x)=\frac{1}{2}(5x)^{-1/2}\cdot 5.
Expliquei cada termo: \tfrac{1}{2}(5x)^{-1/2} vem de derivar a potência (5x)^{1/2} e o fator \cdot 5 vem de derivar u(x)=5x.

Passo 5

Agora simplificamos a expressão obtida:
h'(x)=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot (5x)^{-1/2}=\frac{5}{2}(5x)^{-1/2}.
Substituindo (5x)^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{5x}} obtemos
h'(x)=\frac{5}{2\sqrt{5x}}.
Podemos manipular algebricamente para outras formas úteis. Como \sqrt{5x}=\sqrt{5}\,\sqrt{x}, temos
\frac{5}{2\sqrt{5x}}=\frac{5}{2\sqrt{5}\,\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{x}}.
Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{x} obtemos também
\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{5x}}{2x}.
Todas essas formas são equivalentes e são formas boas de comparar com as alternativas.

Passo 6

Vamos comparar a nossa resposta simplificada com cada alternativa (vou simplificar cada alternativa para ver se bate):
A) \displaystyle \frac{\sqrt{5 x}}{5 \sqrt{x}}=\frac{\sqrt{5}\sqrt{x}}{5\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{5}}{5} (constante). Não coincide com nossa expressão, que depende de x.
B) \displaystyle \frac{\sqrt{5 x}}{5 x}=\frac{\sqrt{5}\sqrt{x}}{5x}=\frac{\sqrt{5}}{5\sqrt{x}}. Nossa forma era \dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{x}}. Os fatores 1/5 e 1/2 são diferentes, logo não coincidem.
C) \displaystyle \frac{5\sqrt{x}}{x}=\frac{5}{\sqrt{x}}. Não é igual a \dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{x}}.
D) \displaystyle \sqrt{5x} claramente não é a derivada (é a função original).
E) \displaystyle \frac{x\sqrt{5}}{5}=\frac{\sqrt{5}}{5}x é linear em x, não coincide com nossa expressão.
Concluindo: nenhuma das alternativas A–E é algebraicamente igual a
h'(x)=\frac{5}{2\sqrt{5x}}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{5x}}{2x}.

Resposta

Nenhuma das alternativas está correta.

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