Determine
{F(s)}=f(x) para
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
quando
Informações relevantes dadas:
- A expressão tem um fator
. - A expressão tem um fator exponencial de translação no domínio de
, . - Queremos a função
correspondente no domínio .
Passo 2
Primeiro identifiquemos a transformada inversa de
(ou seja, o caso sem o fator exponencial). Vou te ensinar uma fórmula muito útil e simples: para todo inteiro
,
Explicando devagar: a notação
significa "transformada de Laplace da função
". A variável de tempo aqui é
, mas no nosso problema a variável é
; isso é só nome — podemos trocar
por
no final. A fórmula diz que ao transformar
você obtém
.
Aplicando para
(porque
):
Logo, a transformada inversa de
é metade de
:
Trocando
por
(para combinar com o enunciado):
Passo 3
Agora vamos lidar com o fator
. Existe uma propriedade fundamental (teorema do deslocamento no tempo) que diz o seguinte: se
, então, para qualquer
,
onde
é a função degrau de Heaviside (valor
para
e
para
).
Vou mostrar por que isso é verdade (passo a passo): calcule a transformada de Laplace de
:
Como
para
e
para
, o integral vira
Fazendo a mudança de variável
, temos
e os limites vão de
a
. Então
Pronto: isso demonstra a propriedade de deslocamento.
Passo 4
Aplique a propriedade ao nosso caso. Já vimos que
No
aparece
, que é
com
. Pela propriedade de deslocamento, a transformada inversa de
é a função deslocada multiplicada pelo degrau:
Aqui explicando: substituímos
por
e multiplicamos por
(que garante que a função vale zero para
).
Passo 5
Verificação rápida (opcional, mas útil para sua confiança): calcule a transformada de Laplace de
:
Fazendo
dá
que é exatamente
. Perfecto — tudo bate.