Determine mathscr{L}^{-1}{F(s)}=f(x) para
F(s)=\frac{1}{s^{3}} e^{-s}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \mathscr{L}^{-1}\{F(s)\}=f(x) quando
F(s)=\frac{1}{s^{3}} e^{-s}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão tem um fator \frac{1}{s^{3}}.
  • A expressão tem um fator exponencial de translação no domínio de s, e^{-s}.
  • Queremos a função f(x) correspondente no domínio x.

Passo 2

Primeiro identifiquemos a transformada inversa de \frac{1}{s^{3}} (ou seja, o caso sem o fator exponencial). Vou te ensinar uma fórmula muito útil e simples: para todo inteiro n\ge 0,
\mathscr{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}.
Explicando devagar: a notação \mathscr{L}\{t^{n}\} significa "transformada de Laplace da função t^{n}". A variável de tempo aqui é t, mas no nosso problema a variável é x; isso é só nome — podemos trocar t por x no final. A fórmula diz que ao transformar t^{n} você obtém \dfrac{n!}{s^{n+1}}.
Aplicando para n=2 (porque s^{3}=s^{2+1}):
\mathscr{L}\{t^{2}\}=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}}.
Logo, a transformada inversa de \dfrac{1}{s^{3}} é metade de t^{2}:
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{3}}\right\}=\frac{t^{2}}{2}.
Trocando t por x (para combinar com o enunciado):
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{3}}\right\}=\frac{x^{2}}{2}.

Passo 3

Agora vamos lidar com o fator e^{-s}. Existe uma propriedade fundamental (teorema do deslocamento no tempo) que diz o seguinte: se \mathscr{L}\{g(t)\}=G(s), então, para qualquer a>0,
\mathscr{L}\{u(t-a)\,g(t-a)\}=e^{-a s}G(s),
onde u(t-a) é a função degrau de Heaviside (valor 0 para t<a e 1 para t>a).
Vou mostrar por que isso é verdade (passo a passo): calcule a transformada de Laplace de u(t-a)g(t-a):
\mathscr{L}\{u(t-a)g(t-a)\}=\int_{0}^{\infty} u(t-a)g(t-a)e^{-st}\,dt.
Como u(t-a)=0 para t<a e 1 para t\ge a, o integral vira
\int_{a}^{\infty} g(t-a)e^{-st}\,dt.
Fazendo a mudança de variável \tau=t-a, temos dt=d\tau e os limites vão de \tau=0 a \tau=\infty. Então
\int_{a}^{\infty} g(t-a)e^{-st}\,dt = \int_{0}^{\infty} g(\tau) e^{-s(\tau+a)}\,d\tau = e^{-as}\int_{0}^{\infty} g(\tau)e^{-s\tau}\,d\tau = e^{-as}G(s).
Pronto: isso demonstra a propriedade de deslocamento.

Passo 4

Aplique a propriedade ao nosso caso. Já vimos que
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{3}}\right\}=\frac{x^{2}}{2}.
No F(s) aparece e^{-s}, que é e^{-a s} com a=1. Pela propriedade de deslocamento, a transformada inversa de e^{-s}\cdot \dfrac{1}{s^{3}} é a função deslocada multiplicada pelo degrau:
f(x)=u(x-1)\cdot \frac{(x-1)^{2}}{2}.
Aqui explicando: substituímos g(x)=\dfrac{x^{2}}{2} por g(x-1)=\dfrac{(x-1)^{2}}{2} e multiplicamos por u(x-1) (que garante que a função vale zero para x<1).

Passo 5

Verificação rápida (opcional, mas útil para sua confiança): calcule a transformada de Laplace de f(x)=u(x-1)\dfrac{(x-1)^{2}}{2}:
\mathscr{L}\{f\}=\int_{0}^{\infty} u(x-1)\frac{(x-1)^{2}}{2} e^{-sx}\,dx =\int_{1}^{\infty}\frac{(x-1)^{2}}{2} e^{-sx}\,dx.
Fazendo \tau=x-1
e^{-s}\int_{0}^{\infty}\frac{\tau^{2}}{2} e^{-s\tau}\,d\tau = e^{-s}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{s^{3}} = \frac{e^{-s}}{s^{3}},
que é exatamente F(s). Perfecto — tudo bate.

Resposta

f(x)=u(x-1)\dfrac{(x-1)^{2}}{2}

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