Mostre se y está no subespaço de R^4 gerado pela matriz A, em que
A=[ccc 3 & -5 & -9 8 & 7 & -6 -5 & -8 & 3 2 & -2 & -9 ], y=[c -4 -8 6 -5 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz A de dimensão 4 times 3 e um vetor y em R^4 . O desafio é descobrir se esse vetor y pertence ao subespaço gerado pelas colunas de A . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é subespaço, combinação linear e como resolver sistemas lineares. Basicamente, queremos ver se dá pra escrever y como uma combinação das colunas de A .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A e o vetor y para visualizar melhor:
A = 3 & -5 & -9 8 & 7 & -6 -5 & -8 & 3 2 & -2 & -9 , y = -4 -8 6 -5
Queremos encontrar se existem números x1, x2, x3 tais que:
x1 cdot 3 8 -5 2 + x2 cdot -5 7 -8 -2 + x3 cdot -9 -6 3 -9 = -4 -8 6 -5

Passo 3

Isso dá lugar a um sistema de equações lineares. Vamos montar esse sistema com base nas componentes de cada vetor:
3x1 - 5x2 - 9x3 = -4 8x1 + 7x2 - 6x3 = -8 -5x1 - 8x2 + 3x3 = 6 2x1 - 2x2 - 9x3 = -5

Passo 4

Como temos 4 equações e 3 incógnitas, podemos usar o método da matriz aumentada para resolver. Vamos montar a matriz aumentada do sistema:
[ccc|c 3 & -5 & -9 & -4 8 & 7 & -6 & -8 -5 & -8 & 3 & 6 2 & -2 & -9 & -5 ]

Passo 5

Vamos usar a eliminação de Gauss para simplificar a matriz. Primeiro, vamos deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1, dividindo toda a linha por 3:
[ccc|c 1 & -53 & -3 & -43 8 & 7 & -6 & -8 -5 & -8 & 3 & 6 2 & -2 & -9 & -5 ]

Passo 6

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso, subtraímos 8 vezes a primeira linha da segunda, adicionamos 5 vezes a primeira linha à terceira e subtraímos 2 vezes a primeira linha da quarta:
  • Linha 2: Linha 2 - 8 times Linha 1
  • Linha 3: Linha 3 + 5 times Linha 1
  • Linha 4: Linha 4 - 2 times Linha 1
Vamos calcular:
  • Linha 2: 8 - 8 times 1 = 0 , 7 - 8 times (-53) = 7 + 403 = 613 , -6 - 8 times (-3) = -6 + 24 = 18 , -8 - 8 times (-43) = -8 + 323 = -24 + 32 3 = 83
  • Linha 3: -5 + 5 times 1 = 0 , -8 + 5 times (-53) = -8 - 253 = -493 , 3 + 5 times (-3) = 3 - 15 = -12 , 6 + 5 times (-43) = 6 - 203 = 18 - 203 = -23
  • Linha 4: 2 - 2 times 1 = 0 , -2 - 2 times (-53) = -2 + 103 = -6 + 10 3 = 43 , -9 - 2 times (-3) = -9 + 6 = -3 , -5 - 2 times (-43) = -5 + 83 = -15 + 8 3 = -73
Agora a matriz fica:
[ccc|c 1 & -53 & -3 & -43 0 & 613 & 18 & 83 0 & -493 & -12 & -23 0 & 43 & -3 & -73 ]

Passo 7

Vamos simplificar as linhas 2, 3 e 4 multiplicando por 3 para eliminar os denominadores:
[ccc|c 1 & -53 & -3 & -43 0 & 61 & 54 & 8 0 & -49 & -36 & -2 0 & 4 & -9 & -7 ]
Agora, focamos na segunda coluna. Queremos deixar o elemento da segunda linha, segunda coluna como 1. Dividimos a segunda linha por 61:
[ccc|c 1 & -53 & -3 & -43 0 & 1 & 5461 & 861 0 & -49 & -36 & -2 0 & 4 & -9 & -7 ]

Passo 8

Agora, vamos eliminar os demais elementos da segunda coluna usando a segunda linha:
  • Linha 1: Linha 1 + 53 times Linha 2
  • Linha 3: Linha 3 + 49 times Linha 2
  • Linha 4: Linha 4 - 4 times Linha 2
Calculando cada uma:
  • Linha 1: 1 + 0 = 1 , -53 + 53 times 1 = 0 , -3 + 53 times 5461 = -3 + 270183 = -3 + 9061 = -18361 + 9061 = -9361 , -43 + 53 times 861 = -43 + 40183 = -244183 + 40183 = -204183 = -6861
  • Linha 3: 0 + 0 = 0 , -49 + 49 times 1 = 0 , -36 + 49 times 5461 = -36 + 264661 = -219661 + 264661 = 45061 , -2 + 49 times 861 = -2 + 39261 = -12261 + 39261 = 27061
  • Linha 4: 0 - 0 = 0 , 4 - 4 times 1 = 0 , -9 - 4 times 5461 = -9 - 21661 = -54961 - 21661 = -76561 , -7 - 4 times 861 = -7 - 3261 = -42761 - 3261 = -45961
A matriz agora fica:
[ccc|c 1 & 0 & -9361 & -6861 0 & 1 & 5461 & 861 0 & 0 & 45061 & 27061 0 & 0 & -76561 & -45961 ]

Passo 9

Vamos simplificar a terceira linha dividindo por 45061 :
[ccc|c 1 & 0 & -9361 & -6861 0 & 1 & 5461 & 861 0 & 0 & 1 & 270450 = 35 0 & 0 & -76561 & -45961 ]
Agora, vamos eliminar o elemento abaixo do 1 na terceira coluna usando a terceira linha:
  • Linha 4: Linha 4 + 76561 times Linha 3
Calculando:
  • Linha 4: 0 + 0 = 0 , 0 + 0 = 0 , -76561 + 76561 times 1 = 0 , -45961 + 76561 times 35 = -45961 + 2295305 = -459 times 5305 + 2295305 = -2295305 + 2295305 = 0
Agora a matriz está assim:
[ccc|c 1 & 0 & -9361 & -6861 0 & 1 & 5461 & 861 0 & 0 & 1 & 35 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 10

Agora, podemos voltar substituindo os valores encontrados. Pela terceira linha, temos:
x3 = 35
Substituindo na segunda linha:
x2 + 5461x3 = 861 x2 + 5461 times 35 = 861 x2 + 162305 = 861 x2 = 861 - 162305 = 40305 - 162305 = -122305 = -122305
Simplificando 122305 , dividindo numerador e denominador por 61:
x2 = -25
Agora, substituímos x2 e x3 na primeira linha:
x1 - 9361x3 = -6861 x1 - 9361 times 35 = -6861 x1 - 279305 = -6861 x1 = -6861 + 279305 = -340305 + 279305 = -61305 = -61305
Simplificando 61305 , dividindo numerador e denominador por 61:
x1 = -15

Resposta

Sim, o vetor y pertence ao subespaço gerado por A . Os coeficientes que satisfazem a combinação linear são:
x1 = -15, x2 = -25, x3 = 35

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