Mostre se y está no subespaço de gerado pela matriz , em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz A de dimensão 4 times 3 e um vetor y em R^4 . O desafio é descobrir se esse vetor y pertence ao subespaço gerado pelas colunas de A . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é subespaço, combinação linear e como resolver sistemas lineares. Basicamente, queremos ver se dá pra escrever y como uma combinação das colunas de A .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz A e o vetor y para visualizar melhor:
Vamos usar a eliminação de Gauss para simplificar a matriz. Primeiro, vamos deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1, dividindo toda a linha por 3:
Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso, subtraímos 8 vezes a primeira linha da segunda, adicionamos 5 vezes a primeira linha à terceira e subtraímos 2 vezes a primeira linha da quarta:
Linha 2: Linha 2 - 8 times Linha 1
Linha 3: Linha 3 + 5 times Linha 1
Linha 4: Linha 4 - 2 times Linha 1
Vamos calcular:
Linha 2: 8 - 8 times 1 = 0 , 7 - 8 times (-53) = 7 + 403 = 613 , -6 - 8 times (-3) = -6 + 24 = 18 , -8 - 8 times (-43) = -8 + 323 = -24 + 32 3 = 83
Linha 3: -5 + 5 times 1 = 0 , -8 + 5 times (-53) = -8 - 253 = -493 , 3 + 5 times (-3) = 3 - 15 = -12 , 6 + 5 times (-43) = 6 - 203 = 18 - 203 = -23