Dada a seguinte distribuição, pede-se:
x -2 -1 0 6 11 13 Total
\mathrm{P}(\mathrm{x}) 0,15 0,05 0,20 0,20 0,30 0,10 1
A moda de X;

Passo 1

O enunciado fornece uma variável aleatória discreta X com a seguinte distribuição de probabilidade (peguei os valores da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccc} x & -2 & -1 & 0 & 6 & 11 & 13\\hline \mathrm{P}(X=x) & 0,15 & 0,05 & 0,20 & 0,20 & 0,30 & 0,10 \end{array}
O que se pede: determinar a moda de X (ou seja, o valor de X que ocorre com maior probabilidade).

Passo 2

O que é “moda” numa distribuição discreta?
  • A moda é o(s) valor(es) de X que maximiza(m) a probabilidade \mathrm{P}(X=x).
  • Em fórmulas, podemos escrever a moda como
\text{moda} = \arg\max_x \mathrm{P}(X=x),
onde \arg\max significa "o(s) x que dá(m) o maior valor de \mathrm{P}(X=x)".
  • Se existir um único x com probabilidade estritamente maior que as demais, dizemos que a distribuição é unimodal e a moda é esse único valor. Se houver dois (ou mais) valores com a mesma probabilidade máxima, a distribuição é bimodal (ou multimodal) e há várias modas.

Passo 3

Vamos listar novamente, associando cada x à sua probabilidade (peguei esses pares da tabela):
(-2,\;0,15),\;(-1,\;0,05),\;(0,\;0,20),\;(6,\;0,20),\;(11,\;0,30),\;(13,\;0,10).

Passo 4

Agora identificamos qual é a maior probabilidade entre esses valores. Compare as probabilidades:
0,15,\;0,05,\;0,20,\;0,20,\;0,30,\;0,10.
O maior número nessa lista é 0,30.

Passo 5

Qual x corresponde a \mathrm{P}(X=x)=0,30? Olhando a lista do Passo 3 (que veio da tabela), vemos que \mathrm{P}(X=11)=0,30. Como essa probabilidade é a maior e única máxima, a distribuição é unimodal e a moda é x=11.

Resposta

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