Dada a seguinte distribuição de probabilidade abaixo, obtenha a Função de distribuição Acumulada -
.
\begin{tabular}{c|cccccc|c}
x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & Total \
\hline
&
&
&
&
&
&
& 1
x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & Total \
\hline
Passo 1
O enunciado pede: obter a Função de Distribuição Acumulada
para uma variável aleatória discreta cuja distribuição é dada.
Informações fornecidas (lista de pares e
):
Informações fornecidas (lista de pares
A soma das probabilidades é
(já fornecido na tabela).
O que temos que entregar: a expressão de para todo
, isto é,
, escrita de forma clara e peça a peça.
O que temos que entregar: a expressão de
Passo 2
O que é a Função de Distribuição Acumulada (CDF) para uma variável discreta e como calculá-la.
Definição (explicada devagar): para uma variável aleatória discreta , a CDF é
Definição (explicada devagar): para uma variável aleatória discreta
Isto significa: para cada valor real
, somamos as probabilidades de todos os valores possíveis de
que sejam menores ou iguais a
. Em notação de soma:
Aqui
percorre apenas os pontos de massa da distribuição (no nosso caso
). A CDF para variável discreta é uma função em escada: ela é constante entre os pontos de massa e tem saltos (aumentos) exatamente nesses pontos.
Passo 3
Vamos calcular passo a passo as somas acumuladas usando as probabilidades da tabela. Vou somar em ordem crescente de
.
- Para
: não incluímos nenhum dos pontos da tabela, então
- Para
: só incluímos , cuja probabilidade é . Logo
- Para
: incluímos e . Soma:
- Para
: incluímos . Soma:
- Para
: incluímos . Soma:
- Para
: incluímos . Soma:
- Para
: incluímos todos os pontos a . Soma:
Observação didática rápida: em cada intervalo
a CDF é constante e igual à soma das probabilidades até
. No ponto
a CDF já inclui
, por isso escrevemos o intervalo como
.
Passo 4
Verificações úteis (para você usar na prova para checar respostas):
- Monotonicidade: os valores acumulados
são não decrescentes, como deve ser. - Limites:
e , como esperado. - Continuidade à direita: a CDF é contínua à direita; os saltos ocorrem exatamente nos pontos
com magnitudes iguais às probabilidades .