Dada a seguinte distribuição de probabilidade abaixo, obtenha a Função de distribuição Acumulada - F(x).
\begin{tabular}{c|cccccc|c}
x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & Total \
\hline \mathrm{P}(\mathrm{x}) & \frac{1}{36} & \frac{3}{36} & \frac{5}{36} & \frac{7}{36} & \frac{9}{36} & \frac{11}{36} & 1

Passo 1

O enunciado pede: obter a Função de Distribuição Acumulada F(x) para uma variável aleatória discreta cuja distribuição é dada.
Informações fornecidas (lista de pares x e \mathrm{P}(x)):
\begin{array}{c|cccccc} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\ \hline \mathrm{P}(x) & \dfrac{1}{36} & \dfrac{3}{36} & \dfrac{5}{36} & \dfrac{7}{36} & \dfrac{9}{36} & \dfrac{11}{36} \end{array}
A soma das probabilidades é 1 (já fornecido na tabela).
O que temos que entregar: a expressão de F(x) para todo x\in\mathbb{R}, isto é, F(x)=P(X\le x), escrita de forma clara e peça a peça.

Passo 2

O que é a Função de Distribuição Acumulada (CDF) para uma variável discreta e como calculá-la.
Definição (explicada devagar): para uma variável aleatória discreta X, a CDF é
F(x)=P(X\le x).
Isto significa: para cada valor real x, somamos as probabilidades de todos os valores possíveis de X que sejam menores ou iguais a x. Em notação de soma:
F(x)=\sum_{t:\,t\le x} P(X=t).
Aqui t percorre apenas os pontos de massa da distribuição (no nosso caso t\in\{1,2,3,4,5,6\}). A CDF para variável discreta é uma função em escada: ela é constante entre os pontos de massa e tem saltos (aumentos) exatamente nesses pontos.

Passo 3

Vamos calcular passo a passo as somas acumuladas usando as probabilidades da tabela. Vou somar em ordem crescente de x.
  • Para x<1: não incluímos nenhum dos pontos da tabela, então
F(x)=0.
  • Para 1\le x<2: só incluímos x=1, cuja probabilidade é \dfrac{1}{36}. Logo
F(x)=\dfrac{1}{36}.
  • Para 2\le x<3: incluímos x=1 e x=2. Soma:
F(x)=\dfrac{1}{36}+\dfrac{3}{36}=\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}.
  • Para 3\le x<4: incluímos x=1,2,3. Soma:
F(x)=\dfrac{1}{36}+\dfrac{3}{36}+\dfrac{5}{36}=\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}.
  • Para 4\le x<5: incluímos x=1,2,3,4. Soma:
F(x)=\dfrac{1+3+5+7}{36}=\dfrac{16}{36}=\dfrac{4}{9}.
  • Para 5\le x<6: incluímos x=1,2,3,4,5. Soma:
F(x)=\dfrac{1+3+5+7+9}{36}=\dfrac{25}{36}.
  • Para x\ge 6: incluímos todos os pontos 1 a 6. Soma:
F(x)=\dfrac{1+3+5+7+9+11}{36}=\dfrac{36}{36}=1.
Observação didática rápida: em cada intervalo [k,k+1) a CDF é constante e igual à soma das probabilidades até k. No ponto x=k a CDF já inclui P(X=k), por isso escrevemos o intervalo como k\le x<k+1.

Passo 4

Verificações úteis (para você usar na prova para checar respostas):
  • Monotonicidade: os valores acumulados 0,\dfrac{1}{36},\dfrac{1}{9},\dfrac{1}{4},\dfrac{4}{9},\dfrac{25}{36},1 são não decrescentes, como deve ser.
  • Limites: \lim_{x\to-\infty}F(x)=0 e \lim_{x\to+\infty}F(x)=1, como esperado.
  • Continuidade à direita: a CDF é contínua à direita; os saltos ocorrem exatamente nos pontos 1,2,\dots,6 com magnitudes iguais às probabilidades P(X=k).

Resposta

F(x)= \begin{cases} 0, & x<1,\\[4pt] \dfrac{1}{36}, & 1\le x<2,\\[4pt] \dfrac{1}{9}, & 2\le x<3,\\[4pt] \dfrac{1}{4}, & 3\le x<4,\\[4pt] \dfrac{4}{9}, & 4\le x<5,\\[4pt] \dfrac{25}{36}, & 5\le x<6,\\[4pt] 1, & x\ge 6. \end{cases}]

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