Dada a seguinte distribuição, pede-se:
x -2 -1 0 6 11 13 Total
\mathrm{P}(\mathrm{x}) 0,15 0,05 0,20 0,20 0,30 0,10 1
A mediana de X;

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (copiei os números da tabela do enunciado): temos uma variável aleatória X com possíveis valores e probabilidades
\begin{array}{c|cccccc} x & -2 & -1 & 0 & 6 & 11 & 13\\hline P(X=x) & 0,15 & 0,05 & 0,20 & 0,20 & 0,30 & 0,10 \end{array}
O que o problema pede: determinar a mediana de X.

Passo 2

O que é mediana para uma variável discreta — aula rápida e prática: a mediana é um valor m tal que, quando nos posicionamos nele,
P(X\le m)\ge 0,5\quad\text{e}\quad P(X\ge m)\ge 0,5.
Intuição simples: metade da probabilidade (ou mais) está à esquerda (ou igual) de m e metade (ou mais) está à direita (ou igual) de m. Para distribuições discretas com valores ordenados, é comum tomar como mediana o menor valor de x cujo cumulativo P(X\le x) atinge ou supera 0,5. Essa regra é prática para aplicar em prova.

Passo 3

Vou calcular a função de distribuição acumulada F(x)=P(X\le x) passo a passo, somando as probabilidades na ordem dos valores de x (da esquerda para a direita):
F(-2)=P(X\le -2)=P(X=-2)=0,15.
F(-1)=P(X\le -1)=P(X=-2)+P(X=-1)=0,15+0,05=0,20.
F(0)=P(X\le 0)=F(-1)+P(X=0)=0,20+0,20=0,40.
F(6)=P(X\le 6)=F(0)+P(X=6)=0,40+0,20=0,60.
(Se quiser, poderia continuar para os próximos valores, mas já vemos o comportamento importante.)

Passo 4

Interpretação dos resultados do acumulado: até x=0 acumulamos F(0)=0,40, que ainda é menor que 0,5. Ao passar para x=6 obtemos F(6)=0,60, que já é maior que 0,5. Pelo critério prático citado (pegar o menor x com F(x)\ge 0,5), o valor que primeiro faz o acumulado atingir ou ultrapassar 0,5 é x=6.

Passo 5

Verificação rápida da outra desigualdade P(X\ge m)\ge 0,5 para m=6: calculo
P(X\ge 6)=P(X=6)+P(X=11)+P(X=13)=0,20+0,30+0,10=0,60\ge 0,5.
Portanto m=6 satisfaz ambas as condições e é uma mediana válida.

Passo 6

Dica prática para prova (resumo aplicável a problemas parecidos): ordene os valores de x, calcule F(x)=P(X\le x) acumulando as probabilidades até encontrar o primeiro x com F(x)\ge 0,5. Esse x é a mediana (quando a distribuição é discreta e pontual, como aqui).

Resposta

6

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