( X, Y ) é uma variável aleatória bidimensional discreta com a seguinte distribuição conjunta:
\boldsymbol{Y}
\mathbf{X} \mathbf{- 3} \mathbf{2} \mathbf{4}
\mathbf{1} 0,1 0,2 0,2
\mathbf{3} 0,3 0,1 0,1
Pede-se:
a) E(X), V(X) e \sigma_{x}
b) E(Y), V(Y) e \sigma_{y}
c) E(X+Y)
d) X e Y são independentes?
e) \mathrm{E}(\mathrm{X}, \mathrm{Y})

Passo 1

O enunciado dá a distribuição conjunta discreta de (X,Y) na forma de tabela. Vou listar explicitamente o que é pedido e os dados que peguei da tabela (estou pegando os valores de probabilidade diretamente da tabela fornecida):
Perguntas pedidas:
a) Calcular E(X), V(X) e \sigma_{x}.
b) Calcular E(Y), V(Y) e \sigma_{y}.
c) Calcular E(X+Y).
d) Verificar se X e Y são independentes.
e) Calcular E(X,Y). (Vou interpretar isso como o valor esperado do produto, isto é E(XY); também vou calcular a covariância \operatorname{Cov}(X,Y) porque é útil e frequentemente esperado.)
Dados que peguei da tabela (cada célula é p_{X,Y}(x,y)):
  • Para X=1: p(1,-3)=0,1, p(1,2)=0,2, p(1,4)=0,2.
  • Para X=3: p(3,-3)=0,3, p(3,2)=0,1, p(3,4)=0,1.
Vou usar esses valores para montar marginais e calcular as expectativas, variâncias, etc. Não começo ainda a calcular — só organizei o que foi pedido e os dados que vou usar.

Passo 2

Calcular as probabilidades marginais (explicando a ideia): para uma variável discreta, a probabilidade marginal de X=x é a soma das probabilidades conjuntas sobre todos os valores de Y. O mesmo para Y.
Cálculos (pegando os números da tabela):
p_X(1)=p(1,-3)+p(1,2)+p(1,4)=0,1+0,2+0,2=0,5.
p_X(3)=p(3,-3)+p(3,2)+p(3,4)=0,3+0,1+0,1=0,5.
p_Y(-3)=p(1,-3)+p(3,-3)=0,1+0,3=0,4.
p_Y(2)=p(1,2)+p(3,2)=0,2+0,1=0,3.
p_Y(4)=p(1,4)+p(3,4)=0,2+0,1=0,3.
Verificação rápida: somas marginais dão 0,5+0,5=1 e 0,4+0,3+0,3=1, ok.

Passo 3

Calcular E(X) (a regra): para variável discreta, E(X)=\sum_x x\,p_X(x). Aqui só temos dois valores de X.
Aplicando a fórmula com os marginais que achamos:
E(X)=1\cdot p_X(1)+3\cdot p_X(3)=1\cdot 0,5 + 3\cdot 0,5=0,5+1,5=2.
Então E(X)=2.

Passo 4

Calcular V(X) (a ideia): V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2. Primeiro preciso de E(X^2)=\sum_x x^2 p_X(x).
Calculo:
E(X^2)=1^2\cdot 0,5 + 3^2\cdot 0,5 = 1\cdot0,5 +9\cdot0,5 =0,5+4,5=5.
Agora a variância:
V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=5-(2)^2=5-4=1.

Passo 5

Calcular \sigma_x (desvio padrão): \sigma_x=\sqrt{V(X)}.
\sigma_x=\sqrt{1}=1.

Passo 6

Calcular E(Y) (mesma regra que para X): E(Y)=\sum_y y\,p_Y(y). Usei os marginais de Y do Passo 2.
Cálculo:
E(Y)=(-3)\cdot 0,4 + 2\cdot 0,3 + 4\cdot 0,3 = -1,2 +0,6 +1,2 =0,6.
Portanto E(Y)=0,6.

Passo 7

Calcular V(Y) (mesma ideia que para X): primeiro E(Y^2)=\sum_y y^2 p_Y(y).
Cálculo:
E(Y^2)=(-3)^2\cdot 0,4 + 2^2\cdot 0,3 + 4^2\cdot 0,3 = 9\cdot0,4 +4\cdot0,3 +16\cdot0,3 =3,6+1,2+4,8=9,6.
Agora a variância:
V(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2=9,6-(0,6)^2=9,6-0,36=9,24.

Passo 8

Calcular \sigma_y (desvio padrão): \sigma_y=\sqrt{V(Y)}.
\sigma_y=\sqrt{9,24}.
Para um valor numérico aproximado: \sqrt{9,24}\approx 3,04. Se você preferir uma forma exata: 9,24=\dfrac{231}{25}, então \sigma_y=\dfrac{\sqrt{231}}{5} (mas em prova normalmente \approx 3,04 é aceitável).

Passo 9

Calcular E(X+Y). Propriedade importante (aula rápida): a esperança é linear, isto é
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
independentemente de X e Y serem independentes ou não.
Aplicando:
E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2 + 0,6 = 2,6.

Passo 10

Verificar se X e Y são independentes (explicando o teste): duas variáveis discretas são independentes se, para todo par (x,y),
p_{X,Y}(x,y)=p_X(x)\,p_Y(y).
Basta encontrar um contraexemplo.
Pegando da tabela (usei p(1,-3)=0,1 da tabela) e os marginais do Passo 2:
p_X(1)\,p_Y(-3)=0,5\cdot 0,4=0,2.
Mas p(1,-3)=0,1 (da tabela). Como 0,1\neq 0,2, as probabilidades não se fatoram para esse par, logo X e Y não são independentes.
Resposta: são dependentes.

Passo 11

Calcular E(XY) e \operatorname{Cov}(X,Y).
Explicação: E(XY)=\sum_{x}\sum_{y} x y\, p_{X,Y}(x,y). Depois a covariância é
\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).
Calculo de E(XY) somando célula a célula (peguei cada p(x,y) da tabela):
Para X=1:
1\cdot(-3)\cdot 0,1 = -0,3,\quad 1\cdot 2\cdot 0,2 = 0,4,\quad 1\cdot 4\cdot 0,2 = 0,8.
Soma para X=1: -0,3+0,4+0,8=0,9.
Para X=3:
3\cdot(-3)\cdot 0,3 = -2,7,\quad 3\cdot 2\cdot 0,1 = 0,6,\quad 3\cdot 4\cdot 0,1 = 1,2.
Soma para X=3: -2,7+0,6+1,2=-0,9.
Somando as duas linhas:
E(XY)=0,9 +(-0,9)=0.
Agora a covariância:
\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 - (2)(0,6) = -1,2.
Interpretação rápida: covariância negativa indica que, em média, valores maiores de X tendem a estar associados a valores menores de Y na tabela — não precisa decorar isso, mas ajuda a entender o sinal.

Resposta

a) E(X)=2,\;V(X)=1,\;\sigma_x=1
b) E(Y)=0,6,\;V(Y)=9,24,\;\sigma_y=\sqrt{9,24}\approx 3,04
c) E(X+Y)=2,6
d) X e Y não são independentes (por exemplo p(1,-3)=0,1\neq 0,2=p_X(1)p_Y(-3))
e) E(XY)=0,\;\operatorname{Cov}(X,Y)=-1,2

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