(
) é uma variável aleatória bidimensional discreta com a seguinte distribuição conjunta:
0,1
0,2
0,2
0,3
0,1
0,1
Pede-se:
a)
e
b)
e
c)
d)
e
são independentes?
e)
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|||
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|
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|
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0,1 | 0,2 | 0,2 |
|
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0,3 | 0,1 | 0,1 |
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá a distribuição conjunta discreta de
na forma de tabela. Vou listar explicitamente o que é pedido e os dados que peguei da tabela (estou pegando os valores de probabilidade diretamente da tabela fornecida):
Perguntas pedidas:
a) Calcular ,
e
.
b) Calcular ,
e
.
c) Calcular .
d) Verificar se e
são independentes.
e) Calcular . (Vou interpretar isso como o valor esperado do produto, isto é
; também vou calcular a covariância
porque é útil e frequentemente esperado.)
a) Calcular
b) Calcular
c) Calcular
d) Verificar se
e) Calcular
Dados que peguei da tabela (cada célula é
):
- Para
: , , . - Para
: , , .
Vou usar esses valores para montar marginais e calcular as expectativas, variâncias, etc. Não começo ainda a calcular — só organizei o que foi pedido e os dados que vou usar.
Passo 2
Calcular as probabilidades marginais (explicando a ideia): para uma variável discreta, a probabilidade marginal de
é a soma das probabilidades conjuntas sobre todos os valores de
. O mesmo para
.
Cálculos (pegando os números da tabela):
Verificação rápida: somas marginais dão
e
, ok.
Passo 3
Calcular
(a regra): para variável discreta,
. Aqui só temos dois valores de
.
Aplicando a fórmula com os marginais que achamos:
Então
.
Passo 4
Calcular
(a ideia):
. Primeiro preciso de
.
Calculo:
Agora a variância:
Passo 5
Calcular
(desvio padrão):
.
Passo 6
Calcular
(mesma regra que para
):
. Usei os marginais de
do Passo 2.
Cálculo:
Portanto
.
Passo 7
Calcular
(mesma ideia que para
): primeiro
.
Cálculo:
Agora a variância:
Passo 8
Calcular
(desvio padrão):
.
Para um valor numérico aproximado:
. Se você preferir uma forma exata:
, então
(mas em prova normalmente
é aceitável).
Passo 9
Calcular
. Propriedade importante (aula rápida): a esperança é linear, isto é
independentemente de
e
serem independentes ou não.
Aplicando:
Passo 10
Verificar se
e
são independentes (explicando o teste): duas variáveis discretas são independentes se, para todo par
,
Basta encontrar um contraexemplo.
Pegando da tabela (usei
da tabela) e os marginais do Passo 2:
Mas
(da tabela). Como
, as probabilidades não se fatoram para esse par, logo
e
não são independentes.
Resposta: são dependentes.
Passo 11
Calcular
e
.
Explicação:
. Depois a covariância é
Calculo de
somando célula a célula (peguei cada
da tabela):
Para :
Para
Soma para
:
.
Para
:
Soma para
:
.
Somando as duas linhas:
Agora a covariância:
Interpretação rápida: covariância negativa indica que, em média, valores maiores de
tendem a estar associados a valores menores de
na tabela — não precisa decorar isso, mas ajuda a entender o sinal.
Resposta
a)
b)
c)
d) e
não são independentes (por exemplo
)
e)
b)
c)
d)
e)