Questão 02. (2,5 pontos) Encontre sua solução geral da EDO
2 xy^3 d x+y^2-3 x^2y^4 d y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO 2xy^3,dx + y^2-3x^2y^4,dy = 0. O conteúdo é equações diferenciais exatas, e vamos precisar reconhecer se a forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0 é exata e, em caso positivo, encontrar a função potencial phi(x,y).

Passo 2

Identificamos M(x,y)=2xy^3 e N(x,y)=y^2-3x^2y^4. Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=partialpartial yl(2x y^-3r)=-6x y^-4,
partial Npartial x=partialpartial xl(y^-2-3x^2y^-4r)=-6x y^-4
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos phi(x,y) tal que phix=M. Integramos M em relação a x:
phi(x,y)=integral 2x y^-3,dx = x^2 y^-3 + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Agora usamos phiy=N. Calculamos
phiy=partialpartial yl(x^2 y^-3+h(y)r)=-3x^2 y^-4+h'(y)
e igualamos a N= y^-2-3x^2 y^-4. Logo
-3x^2 y^-4+h'(y)=y^-2-3x^2 y^-4implies h'(y)=y^-2
Integrando, h(y)=integral y^-2,dy=-tfrac1y.

Passo 5

A função potencial completa é
phi(x,y)=x^2 y^-3-1y
A solução geral fica
phi(x,y)=C , ou seja
x^2y^3-1y=C

Resposta

x^2y^3-1y=C

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