Exercícios da Seção 2.5, página 52
15.
ln (x^3 y)+2 x y=2

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
ln(x^3y)+2xy=2
e pede dfracdydx. Aqui vamos usar propriedades de logaritmo para simplificar, além de derivação implícita, regra da cadeia e regra do produto.

Passo 2

Usando a propriedade ln(ab)=ln a+ln b e ln(x^3)=3ln x, reescrevemos
3ln x + ln y + 2xy = 2
Agora derivamos ambos os lados em relação a x.

Passo 3

Calculamos termoa termo:
  • dfracddx[3ln x]=3cdotdfrac1x=dfrac3x.
  • dfracddx[ln y]=dfrac1y,dfracdydx.
  • dfracddx[2xy]=2l(y + x,dfracdydxr) pela regra do produto.
  • dfracddx[2]=0.
    Somando, fica
dfrac3x + dfrac1y,dfracdydx + 2y + 2x,dfracdydx = 0

Passo 4

Agrupando os termos com dfracdydx num lado e os demais no outro, obtemos
dfracdydxl(tfrac1y+2xr) = -tfrac3x-2y
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dfracdydx = -tfrac3x-2ytfrac1y+2x = -yl(tfrac3x+2yr)1+2xy = -y(3+2xy)x(1+2xy)

Resposta

dydx = -y(3+2xy)x(1+2xy)

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