A identidade vetorial abaixo é verdadeira?
a \cdot(b \times d)=d \cdot(a \times b)=b \cdot(d \times a)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
a \cdot (b \times d) = d \cdot (a \times b) = b \cdot (d \times a)
Essa é uma identidade envolvendo o produto misto de vetores, que veremos pela propriedade de permutação cíclica.

Passo 2

Definimos o produto misto de três vetores x,y,z como
x\cdot(y\times z).
Uma propriedade fundamental é a invariância sob permutações cíclicas:
x\cdot(y\times z) = y\cdot(z\times x) = z\cdot(x\times y).
Se trocarmos apenas dois vetores (permuta anticílica), o sinal inverte.

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao triplo (a,b,d) em ordem cíclica, temos
a\cdot(b\times d) = b\cdot(d\times a) = d\cdot(a\times b),
que coincide com a identidade proposta (a ordem dos termos iguais não altera a validade da igualdade).

Passo 4

Concluímos que, por ser exatamente a invariância cíclica do produto misto, a identidade é verdadeira.

Resposta

Sim, a identidade é verdadeira.

Exercícios relacionados