Usando notação indicial, prove as identidades vetoriais abaixo ( f e g são escalares, \mathbf{u}, \mathbf{v} e w são vetores):
\begin{aligned} \nabla(f g) & =f \nabla g+g \nabla f \\\ \nabla(f+g) & =\nabla f+\nabla g \\\ \nabla \cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v}) & =\nabla \cdot \mathbf{u}+\nabla \cdot \mathbf{v} \\\ \nabla \cdot(f \mathbf{u}) & =\nabla f \cdot \mathbf{u}+f(\nabla \cdot \mathbf{u}) \\\ \nabla \cdot(\mathbf{v w}) & =\mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{w}+\mathbf{w}(\nabla \cdot \mathbf{v}) \\\ \nabla(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})) & =(\nabla \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}+(\nabla \mathbf{w}) \cdot \mathbf{v} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando notação indicial, seis propriedades de linearidade e do produto quando aplicadas aos operadores \nabla e \nabla\cdot. Precisamos lembrar que f e g são escalares e \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} são vetores.

Passo 2

Em notação indicial definimos:
\displaystyle (\nabla)_i=\partial_i\equiv\frac{\partial}{\partial x_i},
\displaystyle (\nabla f)_i=\partial_i f,
\displaystyle \nabla\cdot \mathbf{u}=\partial_i u_i,
o produto escalar de vetores \mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=v_i w_i,
e o produto dyádico (\mathbf{v}\mathbf{w})_{ij}=v_i\,w_j. Também vale a regra de derivação do produto de funções escalares ou componentes vetoriais:
\displaystyle \partial_i(A\,B)=(\partial_i A)\,B + A\,(\partial_i B).

Passo 3

Provar \nabla(fg)=f\,\nabla g+g\,\nabla f.
Em índices:
(\nabla(fg))_i=\partial_i(fg) =\underbrace{(\partial_i f)\,g}_{\displaystyle g\,\partial_i f} +\underbrace{f\,(\partial_i g)}_{\displaystyle f\,\partial_i g}
que em forma vetorial é
\nabla(fg)=g\,\nabla f+f\,\nabla g.

Passo 4

Provar \nabla(f+g)=\nabla f+\nabla g.
Em índices:
(\nabla(f+g))_i=\partial_i(f+g) =\partial_i f+\partial_i g
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\nabla(f+g)=\nabla f+\nabla g.

Passo 5

Provar \nabla\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\nabla\cdot\mathbf{u}+\nabla\cdot\mathbf{v}.
Em índices:
\nabla\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v}) =\partial_i(u_i+v_i) =\partial_i u_i+\partial_i v_i
e portanto
\nabla\cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v}) =\nabla\cdot\mathbf{u}+\nabla\cdot\mathbf{v}.

Passo 6

Provar \nabla\cdot(f\,\mathbf{u})=\nabla f\cdot\mathbf{u}+f\,(\nabla\cdot\mathbf{u}).
Em índices:
\nabla\cdot(f\,\mathbf{u}) =\partial_i(f\,u_i) =(\partial_i f)\,u_i+f\,(\partial_i u_i)
que reagrupado dá
\nabla\cdot(f\,\mathbf{u}) =(\nabla f)\cdot\mathbf{u}+f\,(\nabla\cdot\mathbf{u}).

Passo 7

Provar \nabla\cdot(\mathbf{v}\,\mathbf{w})=\mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{w}+\mathbf{w}\,(\nabla\cdot\mathbf{v}).
Como (\mathbf{v}\,\mathbf{w})_{ij}=v_i\,w_j, temos
\bigl(\nabla\cdot(\mathbf{v}\,\mathbf{w})\bigr)_j =\partial_i(v_i\,w_j) =(\partial_i v_i)\,w_j+v_i\,(\partial_i w_j).
Em notação vetorial isso é
\nabla\cdot(\mathbf{v}\,\mathbf{w}) =(\nabla\cdot\mathbf{v})\,\mathbf{w}+(\mathbf{v}\cdot\nabla)\,\mathbf{w}.

Passo 8

Provar \nabla(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}) =(\nabla\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}+(\nabla\mathbf{w})\cdot\mathbf{v}.
Em índices, o j-ésimo componente de \nabla(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}) é
\partial_j(v_i\,w_i) =(\partial_j v_i)\,w_i+v_i\,(\partial_j w_i).
Reconhecemos que (\nabla\mathbf{v})\cdot\mathbf{w} tem componentes (\partial_j v_i)\,w_i e parecido para o outro termo, dando
\nabla(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}) =(\nabla\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}+(\nabla\mathbf{w})\cdot\mathbf{v}.

Resposta

Mostramos, em notação indicial, todas as identidades pedidas.

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