O enunciado pede para mostrar, usando notação indicial, seis propriedades de linearidade e do produto quando aplicadas aos operadores \nabla e \nabla\cdot. Precisamos lembrar que f e g são escalares e \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} são vetores.
Passo 2
Em notação indicial definimos: \displaystyle (\nabla)_i=\partial_i\equiv\frac{\partial}{\partial x_i}, \displaystyle (\nabla f)_i=\partial_i f, \displaystyle \nabla\cdot \mathbf{u}=\partial_i u_i,
o produto escalar de vetores \mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=v_i w_i,
e o produto dyádico (\mathbf{v}\mathbf{w})_{ij}=v_i\,w_j. Também vale a regra de derivação do produto de funções escalares ou componentes vetoriais: \displaystyle \partial_i(A\,B)=(\partial_i A)\,B + A\,(\partial_i B).
Passo 3
Provar \nabla(fg)=f\,\nabla g+g\,\nabla f.
Em índices:
Provar \nabla\cdot(\mathbf{v}\,\mathbf{w})=\mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{w}+\mathbf{w}\,(\nabla\cdot\mathbf{v}).
Como (\mathbf{v}\,\mathbf{w})_{ij}=v_i\,w_j, temos
Provar \nabla(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w})
=(\nabla\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}+(\nabla\mathbf{w})\cdot\mathbf{v}.
Em índices, o j-ésimo componente de \nabla(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}) é