Mostre que f(x)=cos (x^2) não uniformemente continua. (Sugestão) encontre duas sequências (xn),(yn) subset R tal que lim n+infty+(xn-psin)=0. mas não existe lim n +infty|f(xn)-f(yn)|=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=cosl(x^2r)
não é uniformemente contínua em R.
Conteúdo: definição de continuidade uniforme e o teste contrapositivo via sequências: se existirem duas sequências l(xnr) e l(ynr) tais que
limntoinftyl|xn-ynr|=0
mas
limsupntoinftyl|f(xn)-f(yn)r|neq 0,
então f não é uniformemente contínua.

Passo 2

Vamos escolher sequências cujos quadrados diferem de um múltiplo fixo de pi, de modo que cos(xn^2) oscile entre valores distantes de zero, enquanto xn-ynto 0.

Passo 3

Defina
xn = raiznpi, yn = raiznpi + tfracpi2

Passo 4

Mostramos que l|xn-ynr|to 0.
Note que
l|xn-ynr| = l|xn^2-yn^2r|xn+yn = tfracpi2raiznpi + raiznpi + tfracpi2 ;xrightarrow[ntoinfty];0

Passo 5

Agora calculemos f(xn) e f(yn):
f(xn) = cosl(npir) = (-1)^n, f(yn) = cos!l(npi + tfracpi2r) = 0
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l|f(xn) - f(yn)r| = l|(-1)^n - 0r| = 1
para todo n, e portanto não tende a zero.

Resposta

As sequências
xn = raiznpi, yn = raiznpi + tfracpi2
satisfazem l|xn-ynr|to 0 mas l|f(xn)-f(yn)r|=1notto0.
Concluímos que cos(x^2) não é uniformemente contínua em R.

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