Dada a seguinte matriz, (cccc1 & 2 & 1 & 0 -1 & 0 & 3 & 5 1 & -2 & 1 & 1), responda:
Escreva a matriz em forma de um sistema linear e descreva suas soluções.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
1 & 2 & 1 & 0 -1 & 0 & 3 & 5 1 & -2 & 1 & 1
e pede para escrever isso como um sistema linear homogêneo e descrever suas soluções. O conteúdo é resolução de sistemas lineares (homogêneo) e vamos usar isolamento de variáveis e substituição para encontrar o espaço nulo da matriz.

Passo 2

Associamos as colunas às incógnitas (x1,x2,x3,x4) e cada linha a uma equação igual a zero:
x1 + 2x2 + x3 + 0cdot x4 = 0, -,x1 + 0cdot x2 + 3x3 + 5x4 = 0, x1 - 2x2 + x3 + x4 = 0

Passo 3

Da primeira equação isolamos x1:
x1 = -,2x2 - x3
Substituímos esse valor de x1 na segunda e na terceira equação.

Passo 4

Na segunda equação fica
-(-2x2 - x3) + 3x3 + 5x4 = 0 Longrightarrow 2x2 + x3 + 3x3 + 5x4 = 0 Longrightarrow 2x2 + 4x3 + 5x4 = 0,
e na terceira
(-2x2 - x3) - 2x2 + x3 + x4 = 0 Longrightarrow -4x2 + x4 = 0

Passo 5

Do sistema obtido
2x2 + 4x3 + 5x4 = 0, -4x2 + x4 = 0,
da segunda equação temos x4 = 4x2. Substituindo em 2x2+4x3+5x4=0:
2x2 + 4x3 + 5(4x2) = 0 Longrightarrow 2x2 + 4x3 + 20x2 = 0 Longrightarrow 22x2 + 4x3 = 0 Longrightarrow 11x2 + 2x3 = 0 Longrightarrow x2 = -211,x3
Logo
x4 = 4x2 = -811,x3, x1 = -2x2 - x3 = -2l(-tfrac211x3r) - x3 = -tfrac711,x3
Tomando x3 = t como parâmetro livre, temos a solução geral.

Resposta

O sistema associado é
x1 + 2x2 + x3 = 0, -,x1 + 3x3 + 5x4 = 0, x1 - 2x2 + x3 + x4 = 0
As soluções são
(x1,x2,x3,x4) = tl(-tfrac711,,-tfrac211,,1,,-tfrac811r), tinR,
ou, multiplicando por 11 para evitar frações,
(x1,x2,x3,x4) = s,(-7,,-2,,11,,-8), sinR
Ou seja, o espaço das soluções é uma reta unidimensional gerada por l(-7,-2,11,-8r).

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