Mostre que se as bases
e
têm a mesma orientação e os vetores
e
têm a mesma direção, então
e
têm o mesmo sentido.
Sugestão. Escreva
e mostre que
.
Sugestão. Escreva
Passo 1
O enunciado trata de orientação de bases em
. Temos duas bases
que têm a mesma orientação, e sabe-se que
e
têm a mesma direção. Queremos concluir que
e
têm também o mesmo sentido. Para isso, usaremos as propriedades do determinante como critério de orientação.
Passo 2
Como
e
têm a mesma direção, existe um escalar
tal que
Passo 3
A orientação de uma base
em
pode ser testada pelo sinal de
. Em particular,
pois o determinante é bilinear na última coluna.
Passo 4
Pelo enunciado, as bases
e
têm a mesma orientação. Logo
têm o mesmo sinal. Como
, segue que
é estritamente positivo.
Resposta
Como
, concluímos que
aponta no mesmo sentido que
.