Mostre que se as bases E=(u, v, w) e F=(u, v, r) têm a mesma orientação e os vetores w e r têm a mesma direção, então w e r têm o mesmo sentido.
Sugestão. Escreva r=lambda w e mostre que lambda>0.

Passo 1

O enunciado trata de orientação de bases em R^3. Temos duas bases
E = (u, v, w) e F = (u, v, r)
que têm a mesma orientação, e sabe-se que w e r têm a mesma direção. Queremos concluir que w e r têm também o mesmo sentido. Para isso, usaremos as propriedades do determinante como critério de orientação.

Passo 2

Como w e r têm a mesma direção, existe um escalar lambdaneq0 tal que
r = lambda,w

Passo 3

A orientação de uma base (u,v,x) em R^3 pode ser testada pelo sinal de
det(,u,v,x,). Em particular,
det(,u,v,r,) = detl(,u,v,lambda,wr) = lambda;det(,u,v,w,),
pois o determinante é bilinear na última coluna.

Passo 4

Pelo enunciado, as bases E e F têm a mesma orientação. Logo
det(,u,v,r,) e det(,u,v,w,)
têm o mesmo sinal. Como det(,u,v,w,)neq0, segue que
lambda = det(,u,v,r,) det(,u,v,w,)
é estritamente positivo.

Resposta

Como lambda>0, concluímos que r=lambdaw aponta no mesmo sentido que w.

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