Resolva o sistema abaixo aplicando a Regra de Cramer.
c x+4 y+3 z=1 2 x+5 y+4 z=4 x-3 y-2 z=5

Passo 1

O sistema é
x+4y+3z=1, 2x+5y+4z=4, x-3y-2z=5
Vamos usar a Regra de Cramer, que diz que, se A é a matriz dos coeficientes com determinante D, e Dx,Dy,Dz são os determinantes que se obtêm substituindo a coluna de x, y ou z pelos termos independentes, então
x=DxD, y=DyD, z=DzD
Precisamos calcular D, Dx, Dy e Dz.

Passo 2

Determinante dos coeficientes:
D= 1 & 4 & 3 2 & 5 & 4 1 & -3 & -2 =1cdot(5cdot(-2)-4cdot(-3)) -4cdot(2cdot(-2)-4cdot1) +3cdot(2cdot(-3)-5cdot1)
=1cdot(-10+12)-4cdot(-4-4)+3cdot(-6-5) =2-4cdot(-8)+3cdot(-11) =2+32-33 =1

Passo 3

Determinante para x (substituindo a 1ª coluna pelos termos independentes (1,4,5)):
Dx= 1 & 4 & 3 4 & 5 & 4 5 & -3 & -2 =1cdot(5cdot(-2)-4cdot(-3)) -4cdot(4cdot(-2)-4cdot5) +3cdot(4cdot(-3)-5cdot5)
=1cdot(-10+12)-4cdot(-8-20)+3cdot(-12-25) =2-4cdot(-28)+3cdot(-37) =2+112-111 =3

Passo 4

Determinante para y (substituindo a 2ª coluna):
Dy= 1 & 1 & 3 2 & 4 & 4 1 & 5 & -2 =1cdot(4cdot(-2)-4cdot5) -1cdot(2cdot(-2)-4cdot1) +3cdot(2cdot5-4cdot1)
=1cdot(-8-20)-1cdot(-4-4)+3cdot(10-4) =-28-(-8)+3cdot6 =-28+8+18 =-2

Passo 5

Determinante para z (substituindo a 3ª coluna):
Dz= 1 & 4 & 1 2 & 5 & 4 1 & -3 & 5 =1cdot(5cdot5-4cdot(-3)) -4cdot(2cdot5-4cdot1) +1cdot(2cdot(-3)-5cdot1)
=1cdot(25+12)-4cdot(10-4)+1cdot(-6-5) =37-4cdot6-11 =37-24-11 =2

Passo 6

Aplicando a Regra de Cramer:
x=DxD=31=3, y=DyD=-21=-2, z=DzD=21=2

Resposta

(x,y,z)=(3,-2,2)

Exercícios relacionados