Dada as seguintes funções:
f(x)=2 x+3 \quad g(x)=3 x^{4}-x^{3} \quad h(x)=2|x-2|
Calcule as seguintes funções compostas:
(f \circ g \circ h)(x)=

Passo 1

O enunciado fornece as funções (vou escrever exatamente os dados):
f(x)=2x+3,\qquad g(x)=3x^{4}-x^{3},\qquad h(x)=2|x-2|.
Pede-se calcular a função composta
(f\circ g\circ h)(x)=f\bigl(g\bigl(h(x)\bigr)\bigr).
Lista das informações relevantes:
  • h(x)=2|x-2| (tem valor absoluto).
  • g recebe um argumento e aplica 3(\cdot)^4-(\cdot)^3.
  • f recebe um argumento e aplica 2(\cdot)+3.
    A tarefa: fazer as substituições passo a passo para chegar em uma expressão simplificada para f(g(h(x))).

Passo 2

Entendendo a composição: (f\circ g\circ h)(x) significa primeiro calcular h(x), depois substituir esse resultado como entrada de g para obter g(h(x)), e finalmente substituir g(h(x)) como entrada de f para obter f(g(h(x))).
Em forma simbólica:
(f\circ g\circ h)(x)=f\bigl(g(h(x))\bigr).

Passo 3

Calcular h(x) (é dado, mas escrevo para deixar claro o passo):
h(x)=2|x-2|.
Vou usar esse h(x) como entrada de g.

Passo 4

Substituir h(x) em g. A definição de g é g(t)=3t^{4}-t^{3}. Colocando t=h(x)=2|x-2|:
g(h(x))=3\bigl(2|x-2|\bigr)^{4}-\bigl(2|x-2|\bigr)^{3}.
Agora simplifico as potências: ao elevar um produto ao expoente usa-se (ab)^n=a^n b^n. Assim
\bigl(2|x-2|\bigr)^{4}=2^{4}\,|x-2|^{4}=16\,|x-2|^{4},
\bigl(2|x-2|\bigr)^{3}=2^{3}\,|x-2|^{3}=8\,|x-2|^{3}.
Portanto
g(h(x))=3\cdot 16\,|x-2|^{4}-8\,|x-2|^{3}.
Multiplicando os coeficientes:
g(h(x))=48\,|x-2|^{4}-8\,|x-2|^{3}.
Observação didática rápida sobre valor absoluto e potências:
  • Para expoente par (como 4) vale |x-2|^{4}=(x-2)^{4} porque a potência par elimina o sinal.
  • Para expoente ímpar (como 3) mantém-se |x-2|^{3} (que é sempre não negativo), e não é igual a (x-2)^{3} em geral (pois (x-2)^{3} pode ser negativo). Aqui manteremos |x-2|^{3} para preservar a forma correta.

Passo 5

Agora aplicar f sobre g(h(x)). A definição de f é f(u)=2u+3. Tomando u=g(h(x)):
f(g(h(x)))=2\bigl(g(h(x))\bigr)+3.
Substituindo a expressão encontrada para g(h(x)):
f(g(h(x)))=2\bigl(48\,|x-2|^{4}-8\,|x-2|^{3}\bigr)+3.
Distribuo o 2 nos termos:
f(g(h(x)))=96\,|x-2|^{4}-16\,|x-2|^{3}+3.

Passo 6

Verificação rápida: todas as operações foram apenas substituições e simplificações aritméticas (potências de constantes e distribuição). O resultado está em forma simplificada; como nota alternativa, poder-se-ia escrever o termo com potência 4 sem o valor absoluto, isto é |x-2|^{4}=(x-2)^{4}, obtendo a forma
f(g(h(x)))=96\,(x-2)^{4}-16\,|x-2|^{3}+3,
mas a forma com |x-2| em ambos os termos é totalmente válida e deixa explícita a origem do valor absoluto.

Resposta

96\,|x-2|^{4}-16\,|x-2|^{3}+3

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