Suponha que 1000 u.m. são investidos a uma taxa de juros compostos de 9 \% ao ano. Determine o montante acumulado após 5 anos se os juros forem capitalizados mensalmente, semestralmente, anualmente.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o montante acumulado em três casos de capitalização:
  • Capital inicial (principal): P = 1000 u.m.
  • Taxa nominal anual: r = 9\% = 0,09.
  • Tempo: t = 5 anos.
    As perguntas são:
  • Montante após 5 anos com capitalização mensal.
  • Montante após 5 anos com capitalização semestral.
  • Montante após 5 anos com capitalização anual.

Passo 2

Vamos revisar a fórmula de juros compostos e o significado de cada símbolo (isso é fundamental para aplicar no exame).
Definição básica: se a cada período de capitalização o saldo cresce multiplicando por (1+i), onde i é a taxa por período, então após n períodos o montante é
M = P(1+i)^n.
Quando a taxa é dada por uma taxa nominal anual r e há m capitalizações por ano:
  • taxa por período: \displaystyle i=\frac{r}{m},
  • número total de períodos em t anos: \displaystyle n=m t.
Portanto a fórmula de uso direto é
M = P\left(1+\frac{r}{m}\right)^{m t}.
Aqui:
  • M é o montante final (o que queremos),
  • P é o capital inicial,
  • r é a taxa nominal anual (em forma decimal),
  • m é o número de capitalizações por ano,
  • t é o tempo em anos.

Passo 3

Cálculo do montante com capitalização mensal.
  • Para mensal: m=12.
  • Taxa por mês: \displaystyle i=\frac{r}{m}=\frac{0,09}{12}=0,0075.
  • Número de períodos: \displaystyle n=mt=12\cdot5=60.
Aplicando a fórmula:
M_{\text{mensal}}=1000\left(1+0,0075\right)^{60}=1000\,(1,0075)^{60}.
Como calcular (1,0075)^{60} de forma controlada (método usado aqui):
  • Usa-se \ln e exponencial: (1,0075)^{60}=\exp\big(60\ln(1,0075)\big).
  • Aproximação por série para \ln(1+x) com x=0,0075:
\ln(1+x)\approx x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}.
Substituindo x=0,0075:
\ln(1,0075)\approx 0,0075-\frac{(0,0075)^2}{2}+\frac{(0,0075)^3}{3} =0,0075-0,000028125+0,0000001406\approx 0,0074720156.
Multiplicando por 60:
60\ln(1,0075)\approx 0,448320936.
Agora exponenciando (expansão ou calculadora): \exp(0,448320936)\approx 1,56568. Logo
M_{\text{mensal}}\approx 1000\cdot 1,56568 = 1565,68\\ \text{u.m.}

Passo 4

Cálculo do montante com capitalização semestral.
  • Para semestral: m=2.
  • Taxa por semestre: \displaystyle i=\frac{0,09}{2}=0,045.
  • Número de períodos: \displaystyle n=2\cdot5=10.
Aplicando a fórmula:
M_{\text{semestral}}=1000\,(1,045)^{10}.
Cálculo prático (usando a mesma ideia de logaritmo):
\ln(1,045)\approx 0,045-\frac{0,045^2}{2}+\frac{0,045^3}{3} =0,045-0,0010125+0,000030375\approx 0,044017875.
Multiplicando por 10:
10\ln(1,045)\approx 0,44017875.
Exponenciando: \exp(0,44017875)\approx 1,55297. Logo
M_{\text{semestral}}\approx 1000\cdot 1,55297 = 1552,97\\ \text{u.m.}
Observação prática alternativa: pode-se também calcular (1,045)^{10} por quadraturas sucessivas (elevar ao quadrado, depois à quarta, etc.) se não houver calculadora, mas o princípio é o mesmo.

Passo 5

Cálculo do montante com capitalização anual.
  • Para anual: m=1.
  • Taxa por ano: i=r=0,09.
  • Número de períodos: n=1\cdot5=5.
Aplicando a fórmula:
M_{\text{anual}}=1000\,(1,09)^{5}.
Cálculo por multiplicações sucessivas (fácil de fazer sem calculadora):
(1,09)^2=1,1881,
(1,09)^3=(1,09)^2\cdot(1,09)=1,1881\cdot1,09=1,295029,
(1,09)^5=(1,09)^3\cdot(1,09)^2=1,295029\cdot1,1881\approx 1,53862.
Portanto
M_{\text{anual}}\approx 1000\cdot 1,53862 = 1538,62\\ \text{u.m.}

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: note que, mantendo a mesma taxa anual, quanto maior a frequência de capitalização ( m maior), maior o montante ao final. Isso acontece porque os juros vão “render juros” com mais frequência. Boa! Você já sabe aplicar a fórmula em qualquer caso parecido — isso é exatamente o que pedem na prova.

Resposta

M_{\text{mensal}} \approx 1565,68\\ \text{u.m.}
M_{\text{semestral}} \approx 1552,97\\ \text{u.m.}
M_{\text{anual}} \approx 1538,62\\ \text{u.m.}

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