Suponha que 1000 u.m. são investidos a uma taxa de juros compostos de
ao ano. Determine o montante acumulado após 5 anos se os juros forem capitalizados mensalmente, semestralmente, anualmente.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o montante acumulado em três casos de capitalização:
- Capital inicial (principal):
u.m. - Taxa nominal anual:
. - Tempo:
anos.
As perguntas são: - Montante após 5 anos com capitalização mensal.
- Montante após 5 anos com capitalização semestral.
- Montante após 5 anos com capitalização anual.
Passo 2
Vamos revisar a fórmula de juros compostos e o significado de cada símbolo (isso é fundamental para aplicar no exame).
Definição básica: se a cada período de capitalização o saldo cresce multiplicando por
, onde
é a taxa por período, então após
períodos o montante é
Quando a taxa é dada por uma taxa nominal anual
e há
capitalizações por ano:
- taxa por período:
, - número total de períodos em
anos: .
Portanto a fórmula de uso direto é
Aqui:
-
é o montante final (o que queremos), -
é o capital inicial, -
é a taxa nominal anual (em forma decimal), -
é o número de capitalizações por ano, -
é o tempo em anos.
Passo 3
Cálculo do montante com capitalização mensal.
- Para mensal:
. - Taxa por mês:
. - Número de períodos:
.
Aplicando a fórmula:
Como calcular
de forma controlada (método usado aqui):
- Usa-se
e exponencial: . - Aproximação por série para
com :
Substituindo
:
Multiplicando por
:
Agora exponenciando (expansão ou calculadora):
. Logo
Passo 4
Cálculo do montante com capitalização semestral.
- Para semestral:
. - Taxa por semestre:
. - Número de períodos:
.
Aplicando a fórmula:
Cálculo prático (usando a mesma ideia de logaritmo):
Multiplicando por
:
Exponenciando:
. Logo
Observação prática alternativa: pode-se também calcular
por quadraturas sucessivas (elevar ao quadrado, depois à quarta, etc.) se não houver calculadora, mas o princípio é o mesmo.
Passo 5
Cálculo do montante com capitalização anual.
- Para anual:
. - Taxa por ano:
. - Número de períodos:
.
Aplicando a fórmula:
Cálculo por multiplicações sucessivas (fácil de fazer sem calculadora):
Portanto
Passo 6
Interpretação rápida e incentivo: note que, mantendo a mesma taxa anual, quanto maior a frequência de capitalização (
maior), maior o montante ao final. Isso acontece porque os juros vão “render juros” com mais frequência. Boa! Você já sabe aplicar a fórmula em qualquer caso parecido — isso é exatamente o que pedem na prova.