Dada a sentença aberta em N :
P(n): 1+2+cdots+n=n(n+1)2+1,
mostre que:
(i) Qualquer que seja n in N, se P(n) é verdadeira, então P(n+1) é verdadeira.

Passo 1

O enunciado define a propriedade
P(n): 1+2+cdots+n = n(n+1)2 + 1
e pede para mostrar que, para todo ninN, se P(n) é verdadeira então P(n+1) também é verdadeira. Vamos usar a hipótese indutiva e a relação entre as somas de 1 até n e de 1 até n+1.

Passo 2

Suponha que P(n) seja verdadeira para um certo n, ou seja, suponha
1+2+cdots+n = n(n+1)2 + 1
Então a soma até n+1 pode ser escrita como
1+2+cdots+(n+1) = l(1+2+cdots+nr) + (n+1)

Passo 3

Substituindo a hipótese indutiva na expressão acima, obtemos
1+2+cdots+(n+1) = (n(n+1)2 + 1) + (n+1) = n(n+1) + 2(n+1)2 + 1 = (n+1)(n+2)2 + 1
Isso coincide exatamente com a forma de P(n+1):
1+2+cdots+(n+1) = (n+1)l((n+1)+1r)2 + 1

Resposta

Concluímos que, sempre que P(n) for verdadeira, então P(n+1) também é verdadeira.

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