Mostre, para n, m in N, que
1 cdot 2 cdots m+2 cdot 3 cdots(m+1)+cdots+n(n+1) cdots(n+m-1)= 1m+1 n(n+1) cdots(n+m)
Sugestão: Fixe m arbitrário e proceda por indução sobre n.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução sobre n (com m fixo em N), que
sumk=1^nk(k+1)cdots(k+m-1) =1m+1,n(n+1)cdots(n+m)
O conteúdo aqui é o princípio de indução matemática aplicado a somas de produtos consecutivos.

Passo 2

Base de indução ( n=1).
À esquerda temos
sumk=1^1k(k+1)cdots(k+m-1)=1cdot2cdots m = m!
À direita,
1m+1,1cdot2cdots(m+1) =(m+1)!m+1=m!
Logo a igualdade vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que para algum n>=1 valha
sumk=1^nk(k+1)cdots(k+m-1) =1m+1,n(n+1)cdots(n+m)

Passo 4

Passo de indução ( nto n+1). Então
sumk=1^n+1k(k+1)cdots(k+m-1) =underbracesumk=1^nk(k+1)cdots(k+m-1)=1m+1n(n+1)cdots(n+m) ;+;(n+1)(n+2)cdots(n+m)
Usando a hipótese de indução e agrupando fator comum (n+1)(n+2)cdots(n+m),
&1m+1,n(n+1)cdots(n+m)+(n+1)(n+2)cdots(n+m) &=(n+1)(n+2)cdots(n+m)l(nm+1+1r) =(n+1)(n+2)cdots(n+m),n+m+1m+1 &=1m+1,(n+1)(n+2)cdots(n+m+1),
que é exatamente a fórmula para n+1. Assim a propriedade segue por indução.

Resposta

sumk=1^nk(k+1)cdots(k+m-1) =1m+1,n(n+1)cdots(n+m)

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