Mostre, para
, que
Sugestão: Fixe
arbitrário e proceda por indução sobre
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução sobre
(com
fixo em
), que
O conteúdo aqui é o princípio de indução matemática aplicado a somas de produtos consecutivos.
Passo 2
Base de indução (
).
À esquerda temos
À esquerda temos
À direita,
Logo a igualdade vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que para algum
valha
Passo 4
Passo de indução (
). Então
Usando a hipótese de indução e agrupando fator comum
(n+1)(n+2)cdots(n+m) ,
que é exatamente a fórmula para
n+1 . Assim a propriedade segue por indução.