Dada a sentença aberta em N :
P(n): 1+2+cdots+n=n(n+1)2+1,
mostre que:
(ii) P(n) não é verdadeira para nenhum valor de n in N.

Passo 1

O enunciado define a sentença aberta P(n) em N:
1 + 2 + cdots + n = n(n+1)2 + 1
e pede para mostrar que P(n) não é verdadeira para nenhum n in N. Para isso vamos usar a fórmula conhecida da soma dos primeiros n naturais.

Passo 2

Pela teoria de progressões aritméticas, sabe-se que
1 + 2 + cdots + n = n(n+1)2
Logo a parte esquerda de P(n) vale exatamente tfracn(n+1)2.

Passo 3

Substituindo esse valor em P(n) obtemos
n(n+1)2 ;=;n(n+1)2 + 1
que reduz a
0 = 1,
uma contradição impossível. Portanto não há nenhum n que satisfaça P(n).

Resposta

P(n) não é verdadeira para nenhum n in N.

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