Seja
A=[ccc -2 & -2 & 1 -2 & -2 & 2 -2 & 2 & 1 ]
Preencha as lacunas com os autovalores de A, em ordem crescente e seus respectivos autovetores, com primeira coordenada não nula igual a 1.
l lambda1=square V1=(square, square, square) lambda2=square V2=(square, square) lambda3=square V3=(square, square, square)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa encontrar os autovalores e os autovetores da matriz A dada. Os autovalores são valores especiais que, quando multiplicados por um autovetor, não mudam a direção desse vetor. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e sistemas lineares. Vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz A e, depois, resolver as equações para achar os autovalores. Depois de encontrar os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A :
A = -2 & -2 & 1 -2 & -2 & 2 -2 & 2 & 1
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação det( A - lambda I ) = 0, onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I :
A - lambda I = -2 - lambda & -2 & 1 -2 & -2 - lambda & 2 -2 & 2 & 1 - lambda
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz e igualar a zero.

Passo 4

Calculando o determinante de A - lambda I :
det(A - lambda I) = (-2 - lambda) -2 - lambda & 2 2 & 1 - lambda - (-2) -2 & 2 -2 & 1 - lambda + 1 -2 & -2 - lambda -2 & 2
Vamos calcular cada determinante menor:
  1. -2 - lambda & 2 2 & 1 - lambda = (-2 - lambda)(1 - lambda) - (2)(2) = (-2 - lambda)(1 - lambda) - 4
  2. -2 & 2 -2 & 1 - lambda = (-2)(1 - lambda) - (2)(-2) = -2(1 - lambda) + 4
  3. -2 & -2 - lambda -2 & 2 = (-2)(2) - (-2 - lambda)(-2) = -4 - (4 + 2lambda) = -4 - 4 - 2lambda = -8 - 2lambda

Passo 5

Substituindo de volta na expressão do determinante:
det(A - lambda I) = (-2 - lambda)[(-2 - lambda)(1 - lambda) - 4] - (-2)[-2(1 - lambda) + 4] + 1(-8 - 2lambda)
Vamos simplificar cada parte:
  1. Expandindo (-2 - lambda)(1 - lambda):
(-2 - lambda)(1 - lambda) = -2(1) + (-2)(- lambda) - lambda(1) + lambda^2 = -2 + 2lambda - lambda + lambda^2 = -2 + lambda + lambda^2
Então:
(-2 - lambda)(1 - lambda) - 4 = (-2 + lambda + lambda^2) - 4 = lambda^2 + lambda - 6
  1. Simplificando -2(1 - lambda) + 4:
-2(1 - lambda) + 4 = -2 + 2lambda + 4 = 2lambda + 2
Agora, substituindo de volta:
det(A - lambda I) = (-2 - lambda)(lambda^2 + lambda - 6) - (-2)(2lambda + 2) + (-8 - 2lambda)

Passo 6

Vamos expandir cada termo:
  1. Expandindo (-2 - lambda)(lambda^2 + lambda - 6):
(-2 - lambda)(lambda^2 + lambda - 6) = -2lambda^2 - 2lambda + 12 - lambda^3 - lambda^2 + 6lambda = -lambda^3 - 3lambda^2 + 4lambda + 12
  1. Expandindo - (-2)(2lambda + 2):
- (-2)(2lambda + 2) = 4lambda + 4
  1. O último termo já está simplificado: -8 - 2lambda
Agora, somando todos os termos:
-lambda^3 - 3lambda^2 + 4lambda + 12 + 4lambda + 4 - 8 - 2lambda = -lambda^3 - 3lambda^2 + 6lambda + 8

Passo 7

A equação característica fica:
-lambda^3 - 3lambda^2 + 6lambda + 8 = 0
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para simplificar:
lambda^3 + 3lambda^2 - 6lambda - 8 = 0
Agora, vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testando lambda = 1:
1 + 3 - 6 - 8 = -10 neq 0
Testando lambda = 2:
8 + 12 - 12 - 8 = 0
Então, lambda = 2 é uma raiz. Vamos fatorar o polinômio:
(lambda - 2)(lambda^2 + 5lambda + 4) = 0
Agora, resolvemos lambda^2 + 5lambda + 4 = 0:
lambda = -5 pm raiz25 - 162 = -5 pm 32
Então, as outras raízes são lambda = -1 e lambda = -4.

Passo 8

Agora temos os autovalores em ordem crescente:
lambda3 = -4, lambda2 = -1, lambda1 = 2
Mas conforme o enunciado, precisamos listá-los de forma crescente, ou seja:
lambda1 = -4, lambda2 = -1, lambda3 = 2
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Passo 9

Vamos começar com [\lambda_{1} = -4). Precisamos resolver , ou seja, .
Calculando :
Agora, resolvemos o sistema:
Podemos simplificar o sistema. Observando as duas primeiras equações:
Da primeira: (2x - 2y + z = 0 \Rightarrow z = -2x + 2y]
Substituindo na segunda:
Então,
Portanto, os autovetores são da forma . Para que a primeira coordenada seja 1, escolhemos :

Passo 10

Agora, para [\lambda_{2} = -1), resolvemos .
Calculando :
Vamos resolver o sistema:
Multiplicando a primeira equação por 2 e somando com a segunda:
(-2x -4y + 2z + (-2x - y + 2z) = -4x -5y + 4z = 0]
Deve simplificar mais o sistema. Vamos resolver a partir das equações:
Da primeira:
Substituindo na segunda:
Então, . Portanto, os autovetores são da forma . Para a primeira coordenada ser 1:

Passo 11

Finalmente, para [\lambda_{3} = 2), resolvemos .
Calculando :
Vamos resolver o sistema:
Da terceira equação: (-2x + 2y - z = 0 \Rightarrow z = -2x + 2y]
Substituindo na primeira equação:
Então, da terceira equação:
Portanto, os autovetores são da forma . Para a primeira coordenada ser 1, já que , vamos ajustar: Como é zero, escolhemos :

Resposta

lambda1 &= -4 V1 &= (1, 1, 0) lambda2 &= -1 V2 &= (1, 0, 1) lambda3 &= 2 V3 &= (0, 1, 2)

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