Seja
Preencha as lacunas com os autovalores de
A , em ordem crescente e seus respectivos autovetores, com primeira coordenada não nula igual a 1.
l lambda1=square V1=(square, square, square) lambda2=square V2=(square, square) lambda3=square V3=(square, square, square)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa encontrar os autovalores e os autovetores da matriz
A dada. Os autovalores são valores especiais que, quando multiplicados por um autovetor, não mudam a direção desse vetor. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e sistemas lineares. Vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz
A e, depois, resolver as equações para achar os autovalores. Depois de encontrar os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz
A :
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação det(
A - lambda I ) = 0, onde
I é a matriz identidade e
lambda representa os autovalores.
Passo 3
Vamos montar a matriz
A - lambda I :
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz e igualar a zero.
Passo 4
Calculando o determinante de
A - lambda I :
Vamos calcular cada determinante menor:
-
-2 - lambda & 2 2 & 1 - lambda = (-2 - lambda)(1 - lambda) - (2)(2) = (-2 - lambda)(1 - lambda) - 4 -
-2 & 2 -2 & 1 - lambda = (-2)(1 - lambda) - (2)(-2) = -2(1 - lambda) + 4 -
-2 & -2 - lambda -2 & 2 = (-2)(2) - (-2 - lambda)(-2) = -4 - (4 + 2lambda) = -4 - 4 - 2lambda = -8 - 2lambda
Passo 5
Substituindo de volta na expressão do determinante:
Vamos simplificar cada parte:
- Expandindo
:(-2 - lambda)(1 - lambda)
Então:
- Simplificando
:-2(1 - lambda) + 4
Agora, substituindo de volta:
Passo 6
Vamos expandir cada termo:
- Expandindo
:(-2 - lambda)(lambda^2 + lambda - 6)
- Expandindo
:- (-2)(2lambda + 2)
- O último termo já está simplificado:
-8 - 2lambda
Agora, somando todos os termos:
Passo 7
A equação característica fica:
Podemos multiplicar todos os termos por
-1 para simplificar:
Agora, vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testando
lambda = 1 :
Testando
lambda = 2 :
Então,
lambda = 2 é uma raiz. Vamos fatorar o polinômio:
Agora, resolvemos
lambda^2 + 5lambda + 4 = 0 :
Então, as outras raízes são
lambda = -1 e
lambda = -4 .
Passo 8
Agora temos os autovalores em ordem crescente:
Mas conforme o enunciado, precisamos listá-los de forma crescente, ou seja:
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Passo 9
Vamos começar com [\lambda_{1} = -4). Precisamos resolver
, ou seja,
.
Calculando
:
Agora, resolvemos o sistema:
Podemos simplificar o sistema. Observando as duas primeiras equações:
Da primeira: (2x - 2y + z = 0 \Rightarrow z = -2x + 2y]
Substituindo na segunda:
Então,
Portanto, os autovetores são da forma
. Para que a primeira coordenada seja 1, escolhemos
:
Passo 10
Agora, para [\lambda_{2} = -1), resolvemos
.
Calculando
:
Vamos resolver o sistema:
Multiplicando a primeira equação por 2 e somando com a segunda:
(-2x -4y + 2z + (-2x - y + 2z) = -4x -5y + 4z = 0]
Deve simplificar mais o sistema. Vamos resolver a partir das equações:
Da primeira:
Substituindo na segunda:
Então,
. Portanto, os autovetores são da forma
. Para a primeira coordenada ser 1:
Passo 11
Finalmente, para [\lambda_{3} = 2), resolvemos
.
Calculando
:
Vamos resolver o sistema:
Da terceira equação: (-2x + 2y - z = 0 \Rightarrow z = -2x + 2y]
Substituindo na primeira equação:
Então, da terceira equação:
Portanto, os autovetores são da forma
. Para a primeira coordenada ser 1, já que
, vamos ajustar: Como
é zero, escolhemos
: