Mostre que a soma dos cubos de três números naturais consecutivos é sempre divisível por 9.
Sugestão: Considere a sentença aberta
P(n): n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 é divisível por 9, éí
e mostre, por indução, que ela é verdadeira para todo n in N.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução sobre n, que a soma dos cubos de três números naturais consecutivos
n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3
é sempre divisível por 9. Vamos usar o princípio de indução matemática.

Passo 2

Base de indução. Para n=0, calculamos
0^3 + 1^3 + 2^3 = 0 + 1 + 8 = 9,
e 9 é divisível por 9. Logo, P(0) é verdadeira.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que, para um certo kinN, já seja válida a afirmação
k^3 + (k+1)^3 + (k+2)^3 = 9m
para algum minN. Ou seja, assumimos P(k) verdadeira.

Passo 4

Passo indutivo. Queremos mostrar que
(k+1)^3 + (k+2)^3 + (k+3)^3
é divisível por 9. Reescrevemos essa soma em função de P(k):
(k+1)^3 + (k+2)^3 + (k+3)^3 = l[k^3 + (k+1)^3 + (k+2)^3r] + l[(k+3)^3 - k^3r]

Passo 5

Cálculo da diferença:
(k+3)^3 - k^3 = l(k^3 + 9k^2 + 27k + 27r) - k^3 = 9,(k^2 + 3k + 3),
que é múltiplo de 9.

Passo 6

Concluímos o passo indutivo:
(k+1)^3 + (k+2)^3 + (k+3)^3 = 9m + 9,(k^2 + 3k + 3) = 9l(m + k^2 + 3k + 3r),
logo também é divisível por 9. Assim, P(k+1) vale sempre que P(k) vale.

Resposta

Pelo princípio da indução, P(n) é verdadeira para todo ninN. Em outras palavras, para quaisquer três naturais consecutivos, a soma de seus cubos é sempre divisível por 9.

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