Mostre que a soma dos cubos de três números naturais consecutivos é sempre divisível por 9.
Sugestão: Considere a sentença aberta
e mostre, por indução, que ela é verdadeira para todo
.
Sugestão: Considere a sentença aberta
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução sobre
, que a soma dos cubos de três números naturais consecutivos
é sempre divisível por
. Vamos usar o princípio de indução matemática.
Passo 2
Base de indução. Para
, calculamos
e
é divisível por
. Logo,
é verdadeira.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que, para um certo
, já seja válida a afirmação
para algum
. Ou seja, assumimos
verdadeira.
Passo 4
Passo indutivo. Queremos mostrar que
é divisível por
. Reescrevemos essa soma em função de
:
Passo 5
Cálculo da diferença:
que é múltiplo de
.
Passo 6
Concluímos o passo indutivo:
logo também é divisível por
. Assim,
vale sempre que
vale.
Resposta
Pelo princípio da indução,
é verdadeira para todo
. Em outras palavras, para quaisquer três naturais consecutivos, a soma de seus cubos é sempre divisível por
.