Encontre bases para N(A), Im(A), N(A^t) e Im(A^t), onde
A=[cccc 1 & 0 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & 2 1 & -2 & 3 & -4 1 & -5 & 6 & -10 ]

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas para a matriz
A = 1 & 0 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & 2 1 & -2 & 3 & -4 1 & -5 & 6 & -10 :
  1. Uma base de N(A) (o núcleo de A).
  2. Uma base de Im(A) (a imagem de A).
  3. Uma base de N(A^t) (o núcleo de A^t).
  4. Uma base de Im(A^t) (a imagem de A^t).
Para isso, vamos primeiro reduzir A a uma forma escalonada e extrair pivôs e variáveis livres, usando rank e nullity.

Passo 2

Reduzindo por linhas:
Em seguida, eliminamos embaixo do pivô da segunda linha:
Dessa forma vemos que . Os pivôs estão em colunas 1 e 2, e as variáveis e são livres.

Passo 3

Para encontrar
Logo
Em forma de vetor,
Assim uma base de (\mathcal{N}(A)] é

Passo 4

Como , podemos tomar as colunas de correspondentes aos pivôs (colunas 1 e 2) como base de . Portanto
Além disso, a imagem de é o espaço gerado pelas linhas de (row space). Das duas primeiras linhas não nulas da forma escalonada temos como base de os vetores

Passo 5

Para
e, após eliminação similar, obtemos o sistema
de onde
Logo
e uma base de (\mathcal{N}(A^t)] é

Resposta

Base de N(A):
(-1,1,1,0)^t,,(0,-2,0,1)^t
Base de Im(A):
(1,1,1,1)^t,,(0,1,-2,-5)^t
Base de N(A^t):
(-3,2,1,0)^t,,(-6,5,0,1)^t
Base de Im(A^t):
(1,0,1,0),,(0,1,-1,2)

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