Dada a sequência
definida por
, verifique se:
a)
é monótona;
b)
é limitada;
c)
é convergente.
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para verificar se
é monótona, limitada e convergente. Vamos usar manipulação de fatoriais e teste da razão para monotonicidade, além de argumentos de limite para mostrar convergência e limitar a sequência.
Passo 2
Note que
Logo
Passo 3
Para testar monotonicidade, calculemos a razão
Como para todo
temos
segue que
e, portanto,
é decrescente.
Passo 4
Para ver que
é limitada, note que para todo
então a sequência é limitada inferiormente por
. Além disso,
e
, então há um teto finito. Logo,
é limitada.
Passo 5
Para determinar o limite, observamos que o denominador
cresce sem “competição” do numerador constante
. Logo
Como
é decrescente, limitada e seu limite existe (é
), concluímos que ela é convergente.
Resposta
a)
é decrescente.
b) é limitada (por exemplo,
).
c) é convergente e
.
b)
c)