Dada a sequência an definida por an=2.4 ldots 2 n4^n(n+1)!, verifique se:
a) an é monótona;
b) an é limitada;
c) an é convergente.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
an=2cdot 4cdot 6cdots 2n4^n(n+1)!
e pede para verificar se an é monótona, limitada e convergente. Vamos usar manipulação de fatoriais e teste da razão para monotonicidade, além de argumentos de limite para mostrar convergência e limitar a sequência.

Passo 2

Note que
2cdot 4cdot 6cdots 2n = 2^n,n!
Logo
an =2^n,n!4^n,(n+1)! =2^n4^n;n!(n+1)! =l(tfrac12r)^n1n+1 =1(n+1),2^n

Passo 3

Para testar monotonicidade, calculemos a razão
an+1an =1(n+2),2^,n+11(n+1),2^n =n+1n+2cdot2^n2^n+1 =n+12(n+2)
Como para todo n>=0 temos
n+12(n+2)<1,
segue que an+1<an e, portanto, an é decrescente.

Passo 4

Para ver que an é limitada, note que para todo n
an=1(n+1),2^n>0,
então a sequência é limitada inferiormente por 0. Além disso, a1=1/(2cdot2)=1/4 e a0=1, então há um teto finito. Logo, an é limitada.

Passo 5

Para determinar o limite, observamos que o denominador (n+1)2^n cresce sem “competição” do numerador constante 1. Logo
limntoinftyan =limntoinfty1(n+1),2^n =0
Como an é decrescente, limitada e seu limite existe (é 0), concluímos que ela é convergente.

Resposta

a) an é decrescente.
b) an é limitada (por exemplo, 0<an<=1).
c) an é convergente e limntoinftyan=0.

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