É dada uma sequência (an)n in N, que não é necessariamente uma P.A., com a1=3 e a2=5. Sabe-se que as diferenças bn=an+1-an formam uma P.A. de razão 3. Sendo assim, qual o valor de a8 ?

Passo 1

O enunciado dá uma sequência l(anr)ninN com a1=3 e a2=5, e diz que as diferenças
bn = an+1-an
formam uma progressão aritmética (P.A.) de razão 3. Queremos encontrar a8. Para isso, vamos usar (1) a fórmula do termo geral de uma P.A. e (2) a relação
an = a1 + sumk=1^n-1 bk

Passo 2

Primeiro determinamos o primeiro termo da P.A. l(bnr). Como
b1 = a2 - a1 = 5 - 3 = 2,
e a razão é 3, o termo geral de l(bnr) é
bn = b1 + (n-1)cdot 3 = 2 + 3(n-1)

Passo 3

Sabemos que cada an se constrói somando a1 às diferenças até o índice n-1, ou seja,
an = a1 + sumk=1^n-1 bk
Para n=8 temos
a8 = a1 + sumk=1^7 bk = 3 + sumk=1^7 l(2 + 3(k-1)r)

Passo 4

Calculando a soma das diferenças:
sumk=1^7 l(2 + 3(k-1)r) = sumk=1^7 2 ;+; 3sumk=1^7 (k-1) = 7cdot 2 ;+; 3sumi=0^6 i = 14 + 3cdot 21 = 14 + 63 = 77
Logo,
a8 = 3 + 77 = 80

Resposta

80

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