Verifique se a sequência (3,12,31,66,123, cdots) é uma P.A. de ordem superior. Se sim, determine sua ordem e a fórmula do termo geral.

Passo 1

O enunciado dá a sequência (3,12,31,66,123,dots) e pede para verificar se ela é uma progressão aritmética de ordem superior, determinar a ordem e achar a fórmula do termo geral. O conteúdo aqui é o uso de diferenças finitas: calculamos diferenças sucessivas até encontrar uma linha de diferenças constantes, o que indica a ordem da P.A. de ordem superior e leva a um polinômio de grau igual à ordem.

Passo 2

Calculamos as primeiras diferenças:
De<a an = (12-3,;31-12,;66-31,;123-66) = (9,;19,;35,;57)
Em seguida as segundas diferenças:
De<a^2 an = (19-9,;35-19,;57-35) = (10,;16,;22)
E as terceiras diferenças:
De<a^3 an = (16-10,;22-16) = (6,;6),
que são constantes.

Passo 3

Como De<a^3 an é constante e diferente de zero, a sequência é uma P.A. de ordem superior de ordem 3. Isso implica que seu termo geral an é dado por um polinômio de grau 3:
an = A n^3 + B n^2 + C n + D
Para determinar A,B,C,D, usamos os quatro primeiros termos:
A cdot 1^3 + B cdot 1^2 + C cdot 1 + D = 3, A cdot 2^3 + B cdot 2^2 + C cdot 2 + D = 12, A cdot 3^3 + B cdot 3^2 + C cdot 3 + D = 31, A cdot 4^3 + B cdot 4^2 + C cdot 4 + D = 66

Passo 4

Subtraindo as equações em cascata reduzimos o sistema a
7A+3B+C=9,19A+5B+C=19,37A+7B+C=35
Dessas, tiramos
6A+B=5, 9A+B=8,
daí A=1 e B=-1. Voltando em 7A+3B+C=9 achamos C=5, e por fim de A+B+C+D=3 vem D=-2.

Passo 5

Substituindo em an = A n^3 + B n^2 + C n + D obtemos
an = n^3 - n^2 + 5n - 2

Resposta

A sequência é uma P.A. de ordem 3 e seu termo geral é
boxedan = n^3 - n^2 + 5n - 2

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