Verifique se a sequência é uma P.A. de ordem superior. Se sim, determine sua ordem e a fórmula do termo geral.
Passo 1
O enunciado dá a sequência e pede para verificar se ela é uma progressão aritmética de ordem superior, determinar a ordem e achar a fórmula do termo geral. O conteúdo aqui é o uso de diferenças finitas: calculamos diferenças sucessivas até encontrar uma linha de diferenças constantes, o que indica a ordem da P.A. de ordem superior e leva a um polinômio de grau igual à ordem.
Passo 2
Calculamos as primeiras diferenças:
Em seguida as segundas diferenças:
E as terceiras diferenças:
que são constantes.
Passo 3
Como é constante e diferente de zero, a sequência é uma P.A. de ordem superior de ordem . Isso implica que seu termo geral é dado por um polinômio de grau :
Para determinar , usamos os quatro primeiros termos:
Passo 4
Subtraindo as equações em cascata reduzimos o sistema a
7A+3B+C=9,19A+5B+C=19,37A+7B+C=35
Dessas, tiramos
6A+B=5, 9A+B=8,
daí A=1 e B=-1. Voltando em 7A+3B+C=9 achamos C=5, e por fim de A+B+C+D=3 vem D=-2.
Passo 5
Substituindo em an = A n^3 + B n^2 + C n + D obtemos
an = n^3 - n^2 + 5n - 2
Resposta
A sequência é uma P.A. de ordem 3 e seu termo geral é