Sejam (x1, x2, ldots, xn, ldots) uma PA de ordem k e f(x)=b a^x uma função de tipo exponencial. Mostre que a sequência (f(x1), f(x2), ldots, f(xn), ldots ) é uma PG de ordem k.

Passo 1

O enunciado dá uma progressão aritmética de ordem k, isto é, uma sequência l(xnr)n>=1 que satisfaz
xn+k-xn = De<ak = constante
para todo n. Também temos a função exponencial
f(x)=b,a^x,
e queremos mostrar que a nova sequência l(f(xn)r)n>=1 é uma progressão geométrica de ordem k. Pela definição de PG de ordem k, basta provar que
f(xn+k)f(xn) = constante
para todo n.

Passo 2

Como f(x)=b,a^x, calculemos o quociente entre o termo na posição n+k e o termo na posição n:
f(xn+k)f(xn) = b,a^,xn+kb,a^,xn = a^,xn+k-xn

Passo 3

Mas, por hipótese de AP de ordem k, temos
xn+k-xn = De<ak,
onde De<ak é a mesma constante para todo n.

Passo 4

Logo o quociente fica
f(xn+k)f(xn) = a^,De<ak,
que independe de n.

Passo 5

Isso demonstra exatamente que l(f(xn)r) é uma progressão geométrica de ordem k, pois o ratio entre termos separados por k posições é constante.

Resposta

A sequência l(f(xn)r) é uma PG de ordem k com razão entre termos k posições afastados igual a
a^De<ak,
onde De<ak = xn+k-xn é a diferença constante da PA original.

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