Sejam (x1, x2, ldots, xn, ldots) uma PA de razão r e f(x)=b a^x uma função de tipo exponencial. Mostre que a sequência (f(x1), f(x2), ldots, f(xn), ldots) é uma PG de razão a^r.

Passo 1

O enunciado dá uma progressão aritmética (PA) l(xnr) de razão r e a função exponencial f(x)=b,a^x. Queremos mostrar que a sequência
l(f(xn)r) é uma progressão geométrica (PG) e determinar sua razão. Para isso vamos usar:
  • o termo geral de uma PA,
  • propriedades de potências,
  • definição de PG (quociente entre termos consecutivos constante).

Passo 2

Para uma PA de primeiro termo x1 e razão r, o termo geral é
xn=x1+(n-1),r

Passo 3

Aplicando f ao termo geral da PA e usando a propriedade a^u+v=a^ua^v, obtemos
f(xn)=b,a^xn =b,a^,x1+(n-1)r =b,a^x1;a^(n-1)r =(b,a^x1),(a^r)^,n-1
Isso mostra que f(xn) tem a forma do termo geral de uma PG com primeiro termo b,a^x1 e razão a^r.

Passo 4

Para confirmar que é realmente uma PG, calculamos o quociente entre termos consecutivos:
f(xn+1)f(xn) =(b,a^x1),(a^r)^n(b,a^x1),(a^r)^n-1 =a^r,
que é constante e independe de n. Portanto, a sequência é geométrica de razão a^r.

Resposta

A sequência l(f(xn)r) é uma PG de razão ,a^r.

Exercícios relacionados