Dada uma sequência \left(x_{n}\right), um termo x_{p} chama-se um “termo destacado” quando x_{p} \geqslant x_{n} para todo n>p. Seja P=\left\{p \in \mathbb{N} ; x_{p}\right. é destacado \}. Se P=\left\{p_{1}<p_{2}<\ldots\right\} for infinito, \left(x_{p}\right)_{p \in P} é uma subsequência não-crescente de \left(x_{n}\right). Se P for finito (em particular, vazio), mostre que existe uma subsequência crescente de \left(x_{n}\right). Conclua que toda sequência possui uma subsequência monótona.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que toda sequência real \bigl(x_{n}\bigr) admite uma subsequência monótona (isto é, ou não-crescente ou estritamente crescente).
Definimos um índice p como destacado se
x_{p}\ge x_{n}\quad\text{para todo }n>p.
Chamamos P=\{\,p\in\mathbb{N}:x_{p}\text{ é destacado}\}é. Há dois casos: P infinito ou P finito.

Passo 2

Caso P infinito. Escrevendo P=\{p_{1}<p_{2}<p_{3}<\cdots\}, como cada p_{k} é destacado, para todo k e todo n>p_{k} vale
x_{p_{k}}\ge x_{n}.
Em particular, tomando n=p_{k+1}, temos
x_{p_{k}}\ge x_{p_{k+1}}.
Logo a subsequência \bigl(x_{p_{k}}\bigr)_{k\ge1} é não-crescente.

Passo 3

Caso P finito (ou vazio). Então existe um maior índice destacado, digamos p_{\max}, ou não há nenhum destacado. Isso significa que para todo n>p_{\max} (ou para todo n, no caso vazio), x_{n} não é destacado. Logo, para cada tal n existe algum índice m>n com
x_{m}>x_{n}.
Usamos isso para construir recursivamente uma subsequência estritamente crescente:
  1. Escolha n_{1}>p_{\max} arbitrário.
  2. Tendo escolhido n_{k}, como x_{n_{k}} não é destacado, existe n_{k+1}>n_{k} com
x_{n_{k+1}}>x_{n_{k}}.
  1. Repetir indefinidamente.
Isso produz índices n_{1}<n_{2}<\cdots tais que
x_{n_{1}}<x_{n_{2}}<\cdots,
ou seja, uma subsequência estritamente crescente.

Resposta

Toda sequência real possui uma subsequência monótona: ou não-crescente (se P for infinito) ou estritamente crescente (se P for finito).

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