Dada uma sequência
, um termo
chama-se um “termo destacado” quando
para todo
. Seja
é destacado
. Se
for infinito,
é uma subsequência não-crescente de
. Se
for finito (em particular, vazio), mostre que existe uma subsequência crescente de
. Conclua que toda sequência possui uma subsequência monótona.
Passo 1
O enunciado quer mostrar que toda sequência real
admite uma subsequência monótona (isto é, ou não-crescente ou estritamente crescente).
Definimos um índice como destacado se
Definimos um índice
Chamamos
. Há dois casos:
infinito ou
finito.
Passo 2
Caso
infinito. Escrevendo
, como cada
é destacado, para todo
e todo
vale
Em particular, tomando
, temos
Logo a subsequência
é não-crescente.
Passo 3
Caso
finito (ou vazio). Então existe um maior índice destacado, digamos
, ou não há nenhum destacado. Isso significa que para todo
(ou para todo
, no caso vazio),
não é destacado. Logo, para cada tal
existe algum índice
com
Usamos isso para construir recursivamente uma subsequência estritamente crescente:
- Escolha
arbitrário. - Tendo escolhido
, como não é destacado, existe com
- Repetir indefinidamente.
Isso produz índices
tais que
ou seja, uma subsequência estritamente crescente.
Resposta
Toda sequência real possui uma subsequência monótona: ou não-crescente (se
for infinito) ou estritamente crescente (se
for finito).