Sejam x_{n}=(1+1 / n)^{n} e y_{n}=(1-1 /(n+1))^{n+1}. Mostre que \lim x_{n} y_{n}=1 \mathrm{e} deduza daí que \lim (1-1 / n)^{n}=e^{-1}.

Passo 1

O enunciado define duas sequências
x_{n} = \bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{n},\quad y_{n} = \bigl(1-\tfrac1{n+1}\bigr)^{n+1},
e pede para mostrar que \lim x_{n}y_{n}=1 e daí deduzir que \lim (1-\tfrac1n)^{n}=e^{-1}. O conteúdo é limites de sequências exponenciais ligadas ao número e.

Passo 2

Calculemos o produto x_{n}y_{n}:
x_{n}y_{n} = \Bigl(1+\tfrac1n\Bigr)^{n}\;\Bigl(1-\tfrac1{n+1}\Bigr)^{n+1} = \Bigl(\tfrac{n+1}{n}\Bigr)^{n}\;\Bigl(\tfrac{n}{n+1}\Bigr)^{\,n+1}.
Agrupando as potências, obtemos
x_{n}y_{n} = \Bigl(\tfrac{n+1}{n}\Bigr)^{n}\;\Bigl(\tfrac{n}{n+1}\Bigr)^{n}\;\Bigl(\tfrac{n}{n+1}\Bigr) = 1\cdot \tfrac{n}{n+1} = \tfrac{n}{n+1}.

Passo 3

Como
x_{n}y_{n} = \tfrac{n}{n+1},
segue-se imediatamente que
\lim_{n\to\infty}x_{n}y_{n} = \lim_{n\to\infty}\tfrac{n}{n+1} =1.

Passo 4

Já se sabe (ou é clássico) que
\lim_{n\to\infty}x_{n} =\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\tfrac1n\Bigr)^{n} = e.
Como x_{n}y_{n}\to1 e x_{n}\to e, temos
\lim_{n\to\infty}y_{n} = \frac{1}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_{n}} = \frac1e = e^{-1}.

Passo 5

Observe que, para m=n+1,
y_{n} = \Bigl(1-\tfrac1{n+1}\Bigr)^{n+1} \;\Longrightarrow\; y_{m-1} = \Bigl(1-\tfrac1m\Bigr)^{m}.
Como y_{n}\to e^{-1}, substituindo m por n obtemos
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1-\tfrac1n\Bigr)^{n} = e^{-1}.

Resposta

\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_{n}y_{n}=1 \displaystyle\lim_{n\to\infty}(1-\tfrac1n)^{n}=e^{-1}

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