Fazendo y=x^{1 / k} e b=a^{1 / k} na identidade y^{k}-b^{k}=(y-b) \cdot \sum_{i=0}^{k-1} y^{i} b^{k-i-1} obtenha x-a=\left(x^{1 / k}-a^{1 / k}\right) \cdot \sum_{i=0}^{k-1} x^{i / k} \cdot a^{1-(i+1) / k} e use isto para provar que se \lim x_{n}=a>0, então \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[k]{x_{n}}=\sqrt[k]{a}. Conclua, daí, que \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}\right)^{r}=a^{r} para todo racional r.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar primeiro a identidade
x - a \;=\;\bigl(x^{1/k}-a^{1/k}\bigr)\,\sum_{i=0}^{k-1}x^{i/k}\,a^{1-(i+1)/k}
a partir de
y^k - b^k \;=\;(y-b)\sum_{i=0}^{k-1}y^i\,b^{k-i-1}
fazendo y=x^{1/k} e b=a^{1/k}. Em seguida, usar essa fatoração para provar que se \lim_{n\to\infty}x_n=a>0, então \lim_{n\to\infty}x_n^{1/k}=a^{1/k}. Finalmente, concluir que para todo racional r vale \lim_{n\to\infty}(x_n)^r=a^r. O conteúdo é limites de sequências e continuidade das funções potência de expoente racional.

Passo 2

Substituindo y=x^{1/k} e b=a^{1/k} em
y^k-b^k=(y-b)\sum_{i=0}^{k-1}y^i\,b^{k-i-1},
obtemos
x-a=(x^{1/k})^k-(a^{1/k})^k =(x^{1/k}-a^{1/k})\sum_{i=0}^{k-1}(x^{1/k})^i\,(a^{1/k})^{\,k-i-1}.
Como (x^{1/k})^i=x^{i/k} e (a^{1/k})^{k-i-1}=a^{(k-i-1)/k}=a^{1-(i+1)/k}, a fórmula fica
x - a \;=\;\bigl(x^{1/k}-a^{1/k}\bigr)\,\sum_{i=0}^{k-1}x^{i/k}\,a^{1-(i+1)/k}.

Passo 3

Agora seja \{x_n\} com \lim_{n\to\infty}x_n=a>0. Defina
S_n=\sum_{i=0}^{k-1}x_n^{i/k}\,a^{1-(i+1)/k}.
A identidade dá
x_n^{1/k}-a^{1/k}=\frac{x_n-a}{S_n}.
Como x_n\to a, cada termo x_n^{i/k}\to a^{i/k}, logo
a^{i/k}\,a^{1-(i+1)/k} =a^{i/k+1-(i+1)/k} =a^{(k-1)/k}.
k termos iguais, então
\lim_{n\to\infty}S_n =k\,a^{(k-1)/k}\neq0.
Por isso
\lim_{n\to\infty}\bigl(x_n^{1/k}-a^{1/k}\bigr) =\frac{\lim(x_n-a)}{\lim S_n} =\frac{0}{k\,a^{(k-1)/k}} =0,
isto é,
\lim_{n\to\infty}x_n^{1/k}=a^{1/k}.

Passo 4

Para r=\tfrac{p}{q} (com p\in\mathbb Z, q\in\mathbb N), escrevemos
(x_n)^r=(x_n)^{p/q}=\bigl(x_n^{1/q}\bigr)^{p}.
Já vimos que x_n^{1/q}\to a^{1/q}. Como a função t\mapsto t^p é contínua,
\lim_{n\to\infty}(x_n)^r =\lim_{n\to\infty}\bigl(x_n^{1/q}\bigr)^{p} =\bigl(a^{1/q}\bigr)^{p} =a^{p/q} =a^r.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n^{1/k}=a^{1/k} e, mais geral, para todo racional r, \displaystyle \lim_{n\to\infty}(x_n)^r=a^r.

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