Seja \left(x_{n}\right) uma sequência limitada. Se \lim a_{n}=a e cada a_{n} é um valor de aderência de \left(x_{n}\right), então a é um valor de aderência de \left(x_{n}\right).

Passo 1

O enunciado afirma que \bigl(x_{n}\bigr) é uma sequência real limitada e que existe uma sequência \bigl(a_{n}\bigr) tal que \lim_{n\to\infty}a_{n}=a e, para cada n, o número a_{n} é valor de aderência (valor de acumulação) de \bigl(x_{n}\bigr). Queremos mostrar que a também é valor de aderência de \bigl(x_{n}\bigr). Para isso, precisamos usar a definição sequencial de valor de aderência (existe uma subsequência convergente ao valor) e construir uma subsequência de x_{n} que convirja a a.

Passo 2

Recordando a definição: um número L é valor de aderência de \bigl(x_{n}\bigr) se, e somente se, existe uma subsequência \bigl(x_{n_{k}}\bigr) tal que
\lim_{k\to\infty}x_{n_{k}} = L.
Dado que cada a_{n} é valor de aderência, para todo n existe uma subsequência \bigl(x_{n_{k}^{(n)}}\bigr) convergindo a a_{n}.

Passo 3

Como \lim_{n\to\infty}a_{n}=a, dado \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N,
|a_{n}-a|<\varepsilon.
Queremos agora extrair uma única subsequência de \bigl(x_{n}\bigr) que se aproxime de a. Faremos isso por um argumento diagonal:
  1. Escolha uma tolerância \varepsilon_{1}=1. Como a_{n}\to a, existe N_{1} com |a_{N_{1}}-a|<1.
  2. Sendo a_{N_{1}} valor de aderência de \bigl(x_{n}\bigr), existe índice m_{1} tal que
|x_{m_{1}}-a_{N_{1}}|<1
e m_{1}\ge1.
Recursivamente, para cada k\ge2:
  • Defina \varepsilon_{k}=\tfrac1{k}.
  • Como a_{n}\to a, existe N_{k}>N_{k-1} com |a_{N_{k}}-a|<\tfrac1{k}.
  • Escolha m_{k}>m_{k-1} tal que
|x_{m_{k}}-a_{N_{k}}|<\tfrac1{k}.

Passo 4

Agora analisamos a subsequência \bigl(x_{m_{k}}\bigr)_{k=1}^{\infty}. Para cada k vale
|x_{m_{k}}-a| \le |x_{m_{k}}-a_{N_{k}}| + |a_{N_{k}}-a| < \tfrac1{k} + \tfrac1{k} = \tfrac{2}{k}.
Como \tfrac{2}{k}\to0 quando k\to\infty, concluímos que
\lim_{k\to\infty}x_{m_{k}} = a.
Portanto, a é valor de aderência de \bigl(x_{n}\bigr).

Resposta

a é valor de aderência da sequência \bigl(x_{n}\bigr).

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