Seja
uma sequência limitada. Se
e cada
é um valor de aderência de
, então
é um valor de aderência de
.
Passo 1
O enunciado afirma que
é uma sequência real limitada e que existe uma sequência
tal que
e, para cada
, o número
é valor de aderência (valor de acumulação) de
. Queremos mostrar que
também é valor de aderência de
. Para isso, precisamos usar a definição sequencial de valor de aderência (existe uma subsequência convergente ao valor) e construir uma subsequência de
que convirja a
.
Passo 2
Recordando a definição: um número
é valor de aderência de
se, e somente se, existe uma subsequência
tal que
Dado que cada
é valor de aderência, para todo
existe uma subsequência
convergindo a
.
Passo 3
Como
, dado
existe
tal que, para todo
,
Queremos agora extrair uma única subsequência de
que se aproxime de
. Faremos isso por um argumento diagonal:
- Escolha uma tolerância
. Como , existe com . - Sendo
valor de aderência de , existe índice tal que
e
.
Recursivamente, para cada
:
- Defina
. - Como
, existe com . - Escolha
tal que
Passo 4
Agora analisamos a subsequência
. Para cada
vale
Como
quando
, concluímos que
Portanto,
é valor de aderência de
.