Dada a sequência obtida pelo método da iteração do ponto fixo, a relação
em que p é a solução exata e x^* é um ponto do intervalor entre p e pn é sempre verdadeira.
O que ocorrerá com o erro se |g^prime(x)|<1 para todo x entre p e pn? E se |g^prime(x)|>1?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma sequência pn gerada pelo método da iteração do ponto fixo. A relação fornecida é:
|pn+1 - p| = |g^prime(x^*)| |pn - p|
Aqui, p é a solução exata, e x^* está entre p e pn. O conteúdo que vamos usar envolve métodos numéricos para encontrar raízes de funções, especificamente o método de iteração do ponto fixo, e o conceito de convergência baseado na derivada da função g.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa relação significa. A expressão |pn+1 - p| representa o erro na (n+1)-ésima iteração, ou seja, o quão distante estamos da solução exata na próxima etapa. Esse erro é igual a |g^prime(x^*)| multiplicado pelo erro atual |pn - p|.
Passo 3
Agora, vamos analisar o caso em que |g^prime(x)| < 1 para todo x entre p e pn. Isso significa que a derivada da função g está sempre com módulo menor que 1 nesse intervalo.
Aplicando isso na nossa relação:
|pn+1 - p| = |g^prime(x^*)| |pn - p| < |pn - p|
Ou seja, o erro na próxima iteração é menor que o erro atual. Isso indica que estamos nos aproximando da solução exata.
Passo 4
Por outro lado, vamos considerar o caso em que |g^prime(x)| > 1 para todo x entre p e pn. Aqui, a derivada da função g tem módulo maior que 1 nesse intervalo.
Aplicando isso na relação:
|pn+1 - p| = |g^prime(x^*)| |pn - p| > |pn - p|
Assim, o erro na próxima iteração é maior que o erro atual, o que significa que nos afastamos da solução exata.
Resposta
Se |g^prime(x)| < 1 para todo x entre p e pn, o erro diminui a cada iteração, ou seja, a sequência converge para a solução exata. Por outro lado, se |g^prime(x)| > 1, o erro aumenta a cada iteração, fazendo com que a sequência se afaste da solução exata.