Das funções abaixo, quais satisfazem o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo?
g(x)=cos (x), para x in[0, pi4]

Passo 1

O enunciado quer saber se a função
g(x)=cos(x), xinl[0,tfracpi4r]
satisfaz o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo.
Matéria: Teorema do Ponto Fixo de Banach.
O que precisamos para aplicar:
1) Mostrar que leva o intervalo em si mesmo (invariância).
2) Verificar que existe tal que para todo .

Passo 2

Verificando a invariância do intervalo:
  • Para g(0)=cos(0)=1, temos Mas não está em , já que .
    Logo atinge valores acima de , falhando o requisito de invariância.

Passo 3

Mesmo que o Teorema peça também g'(x)=-sin(x)Longrightarrow lvert g'(x)rvert=sin(x), vamos checar por curiosidade:
No intervalo , cresce de 0 até .
Logo .
Isso mostra que seria um contração, mas sem a invariância não adianta.

Resposta

A função não satisfaz o critério de convergência do método de Ponto Fixo em , pois ela não leva em si mesma (falha no primeiro requisito).

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