Dada a série
, determine:
Mostre que a série diverge.
Mostre que a série diverge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a série
e precisamos mostrar que ela diverge, ou seja, que não tem um valor definido quando somamos todos os termos. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série infinita. É basicamente uma soma de infinitos termos. No nosso caso, a série é alternada porque os sinais dos termos mudam. A gente tem
, que para cada
gera um termo positivo ou negativo.
Passo 3
Agora, para saber se uma série infinita converge (tem um valor definido), precisamos verificar alguns critérios. Um desses critérios é o Critério da Convergência que diz que, para a série
convergir, o limite dos termos
quando
vai para o infinito deve ser zero. Se esse limite não for zero, a série diverge.
Passo 4
Vamos aplicar esse critério na nossa série. Nosso termo geral é
. Vamos calcular o limite desse termo quando
tende ao infinito:
Mas o que acontece com
conforme
cresce? Ele vai alternar entre
e
sem se aproximar de nenhum valor específico.
Passo 5
Como o limite de
não existe (não é igual a zero nem a qualquer outro número), de acordo com o Critério da Convergência, a série
não converge. Portanto, ela diverge.
Resposta
A série
diverge porque o limite dos termos não é zero.