Dada a série sumn=1^infty(-1)^n-1, determine:
Mostre que a série diverge.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a série sumn=1^infty(-1)^n-1 e precisamos mostrar que ela diverge, ou seja, que não tem um valor definido quando somamos todos os termos. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série infinita. É basicamente uma soma de infinitos termos. No nosso caso, a série é alternada porque os sinais dos termos mudam. A gente tem (-1)^n-1, que para cada n gera um termo positivo ou negativo.

Passo 3

Agora, para saber se uma série infinita converge (tem um valor definido), precisamos verificar alguns critérios. Um desses critérios é o Critério da Convergência que diz que, para a série sum an convergir, o limite dos termos an quando n vai para o infinito deve ser zero. Se esse limite não for zero, a série diverge.

Passo 4

Vamos aplicar esse critério na nossa série. Nosso termo geral é an = (-1)^n-1. Vamos calcular o limite desse termo quando n tende ao infinito:
limn to infty (-1)^n-1
Mas o que acontece com (-1)^n-1 conforme n cresce? Ele vai alternar entre 1 e -1 sem se aproximar de nenhum valor específico.

Passo 5

Como o limite de an não existe (não é igual a zero nem a qualquer outro número), de acordo com o Critério da Convergência, a série sumn=1^infty(-1)^n-1 não converge. Portanto, ela diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n-1 diverge porque o limite dos termos não é zero.

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