Determine se a série geométrica converge ou diverge; se convergir, ache sua soma.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série geométrica da forma:
Conteúdo da matéria: Séries geométricas.
O que vamos precisar: Saber como identificar uma série geométrica, verificar sua convergência e, se convergir, calcular a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
Onde:
é o primeiro termo.
é a razão comum entre os termos.
No nosso caso:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a série converge ou diverge. Para uma série geométrica infinita convergir, o valor absoluto da razão deve ser menor que 1.
Calculando:
raiz5 approx 2,236
12,236 approx 0,447
Como 0,447 < 1 , a série converge.
Passo 4
Como a série converge, podemos calcular a soma infinita S da série geométrica usando a fórmula:
S = a1 - r
Substituindo os valores:
S = 11 - ( -1raiz5 )
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
S = 11 + 1raiz5
Para facilitar, vamos multiplicar o numerador e o denominador por raiz5 :
S = raiz5raiz5 + 1
Podemos racionalizar o denominador multiplicando por raiz5 - 1 :
S = raiz5 (raiz5 - 1)(raiz5 + 1)(raiz5 - 1)
S = 5 - raiz55 - 1
S = 5 - raiz54
Resposta
A série geométrica converge e sua soma infinita é: