Determine se a série geométrica converge ou diverge; se convergir, ache sua soma.
1+(-1raiz5)+cdots+(-1raiz5)^n-1+cdots

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série geométrica da forma:
1 + (-1raiz5) + (-1raiz5)^2 + cdots + (-1raiz5)^n-1 + cdots
Conteúdo da matéria: Séries geométricas.
O que vamos precisar: Saber como identificar uma série geométrica, verificar sua convergência e, se convergir, calcular a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
a + ar + ar^2 + ar^3 + cdots
Onde:
  • a é o primeiro termo.
  • r é a razão comum entre os termos.
No nosso caso:
  • a = 1
  • r = -1raiz5

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a série converge ou diverge. Para uma série geométrica infinita convergir, o valor absoluto da razão |r| deve ser menor que 1.
|r| = | -1raiz5 | = 1raiz5
Calculando:
raiz5 approx 2,236
12,236 approx 0,447
Como 0,447 < 1 , a série converge.

Passo 4

Como a série converge, podemos calcular a soma infinita S da série geométrica usando a fórmula:
S = a1 - r
Substituindo os valores:
S = 11 - ( -1raiz5 )

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
S = 11 + 1raiz5
Para facilitar, vamos multiplicar o numerador e o denominador por raiz5 :
S = raiz5raiz5 + 1
Podemos racionalizar o denominador multiplicando por raiz5 - 1 :
S = raiz5 (raiz5 - 1)(raiz5 + 1)(raiz5 - 1)
S = 5 - raiz55 - 1
S = 5 - raiz54

Resposta

A série geométrica converge e sua soma infinita é:
S = 5 - raiz54

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