Use uma diferencial total d z para aproximar a variação em z=x y^2 do seu valor em (0,5 ; 1,0) para o seu valor em (0,503 ; 1,004). Calcule a variação real De<a z. Compare a magnitude do erro dessa aproximação |d z-De<a z|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a diferencial total dz para aproximar a variação de z = x y^2 quando passamos do ponto (0,5; 1,0) para (0,503; 1,004) . A gente vai precisar saber o que é diferencial total, calcular derivadas parciais e entender como usar essas informações para fazer a aproximação. Depois, vamos calcular a variação real De<a z e comparar o erro dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a diferencial total dz . Ela nos dá uma aproximação da variação de z quando x e y mudam um pouquinho. A fórmula da diferencial total para z = x y^2 é:
dz = partial zpartial x dx + partial zpartial y dy
Aqui, partial zpartial x e partial zpartial y são as derivadas parciais de z em relação a x e y , respectivamente, e dx e dy são as variações em x e y .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais. Primeiro, derivando z = x y^2 em relação a x , tratamos y como constante:
partial zpartial x = y^2
Agora, derivando em relação a y :
partial zpartial y = 2xy

Passo 4

Agora, vamos identificar as variações dx e dy . A gente está passando de (0,5; 1,0) para (0,503; 1,004) , então:
dx = 0,503 - 0,5 = 0,003
dy = 1,004 - 1,0 = 0,004

Passo 5

Vamos usar a fórmula da diferencial total com os valores que encontramos. Avaliamos as derivadas parciais no ponto inicial (0,5; 1,0) :
partial zpartial x g|(0,5; 1,0) = (1,0)^2 = 1
partial zpartial y g|(0,5; 1,0) = 2 times 0,5 times 1,0 = 1
Então, substituindo na fórmula:
dz = 1 times 0,003 + 1 times 0,004 = 0,003 + 0,004 = 0,007

Passo 6

Agora, vamos calcular a variação real De<a z . Primeiro, calculamos z no ponto final e no ponto inicial:
z(0,503; 1,004) = 0,503 times (1,004)^2 = 0,503 times 1,008016 = 0,506
z(0,5; 1,0) = 0,5 times (1,0)^2 = 0,5 times 1 = 0,5
Então,
De<a z = 0,506 - 0,5 = 0,006

Passo 7

Por último, vamos comparar a aproximação com a variação real calculando o erro:
|dz - De<a z| = |0,007 - 0,006| = 0,001

Resposta

A variação real De<a z é 0,006 e a magnitude do erro da aproximação é 0,001 .

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