Use uma diferencial total para aproximar a variação em do seu valor em para o seu valor em . Calcule a variação real . Compare a magnitude do erro dessa aproximação .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a diferencial total para aproximar a variação de quando passamos do ponto para . A gente vai precisar saber o que é diferencial total, calcular derivadas parciais e entender como usar essas informações para fazer a aproximação. Depois, vamos calcular a variação real e comparar o erro dessa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a diferencial total . Ela nos dá uma aproximação da variação de quando e mudam um pouquinho. A fórmula da diferencial total para é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, e e são as variações em e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais. Primeiro, derivando em relação a , tratamos como constante:
Agora, derivando em relação a :
Passo 4
Agora, vamos identificar as variações e . A gente está passando de para , então:
Passo 5
Vamos usar a fórmula da diferencial total com os valores que encontramos. Avaliamos as derivadas parciais no ponto inicial :
partial zpartial y g|(0,5; 1,0) = 2 times 0,5 times 1,0 = 1
Então, substituindo na fórmula:
dz = 1 times 0,003 + 1 times 0,004 = 0,003 + 0,004 = 0,007
Passo 6
Agora, vamos calcular a variação real De<a z . Primeiro, calculamos z no ponto final e no ponto inicial:
z(0,503; 1,004) = 0,503 times (1,004)^2 = 0,503 times 1,008016 = 0,506
z(0,5; 1,0) = 0,5 times (1,0)^2 = 0,5 times 1 = 0,5
Então,
De<a z = 0,506 - 0,5 = 0,006
Passo 7
Por último, vamos comparar a aproximação com a variação real calculando o erro:
|dz - De<a z| = |0,007 - 0,006| = 0,001
Resposta
A variação real De<a z é 0,006 e a magnitude do erro da aproximação é 0,001 .