Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, ache o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar se a sequência
converge ou diverge. Isso entra no assunto de sequências numéricas e comportamento assintótico. Para resolver, vamos analisar o comportamento dessa fração quando
fica bem grande, ou seja, tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte da sequência representa:
- No numerador, temos
, que cresce bem rápido conforme aumenta. - No denominador, temos
, que também cresce, mas de forma bem mais lenta comparada ao .
Passo 3
Para determinar o comportamento da sequência, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Passo 4
Sabemos que, à medida que
cresce,
cresce muito mais rápido que
. Na matemática, isso significa que o numerador domina o denominador.
Passo 5
Como o numerador
cresce sem limites e supera o crescimento do denominador
, o limite da sequência será infinito. Portanto, a sequência não converge para um número finito.
Resposta
A sequência
diverge para
.