Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, ache o limite.
n^2ln(n+1) n=1^infty

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar se a sequência n^2ln(n+1) n=1^infty converge ou diverge. Isso entra no assunto de sequências numéricas e comportamento assintótico. Para resolver, vamos analisar o comportamento dessa fração quando n fica bem grande, ou seja, tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da sequência representa:
  • No numerador, temos n^2, que cresce bem rápido conforme n aumenta.
  • No denominador, temos ln(n+1), que também cresce, mas de forma bem mais lenta comparada ao n^2.

Passo 3

Para determinar o comportamento da sequência, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty n^2ln(n+1)

Passo 4

Sabemos que, à medida que n cresce, n^2 cresce muito mais rápido que ln(n+1). Na matemática, isso significa que o numerador domina o denominador.

Passo 5

Como o numerador n^2 cresce sem limites e supera o crescimento do denominador ln(n+1), o limite da sequência será infinito. Portanto, a sequência não converge para um número finito.

Resposta

A sequência n^2ln(n+1) n=1^infty diverge para +infty.

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