Seja a in Z, prove que -(-a)=a.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, em Z (que é um grupo abeliano sob adição), o oposto do oposto de a coincide com a. Vamos usar as propriedades de existência e unicidade do inverso aditivo.

Passo 2

Por definição de inverso aditivo, para todo xinZ existe um único elemento -xinZ tal que
x + (-x) = 0

Passo 3

Aplicando isso a x=-a, sabemos que -(-a) é o inverso aditivo de -a, ou seja,
- a + l(-(-a)r) = 0
Por outro lado, também vale
- a + a = 0,
ou seja, a é um elemento que soma com -a dando zero.

Passo 4

Pela unicidade do inverso aditivo em um grupo, se dois elementos somados a -a dão zero, eles devem ser iguais. Logo,
-(-a) = a

Resposta

-(-a) = a

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