Seja
, prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, em
(que é um grupo abeliano sob adição), o oposto do oposto de
coincide com
. Vamos usar as propriedades de existência e unicidade do inverso aditivo.
Passo 2
Por definição de inverso aditivo, para todo
existe um único elemento
tal que
Passo 3
Aplicando isso a
, sabemos que
é o inverso aditivo de
, ou seja,
Por outro lado, também vale
ou seja,
é um elemento que soma com
dando zero.
Passo 4
Pela unicidade do inverso aditivo em um grupo, se dois elementos somados a
dão zero, eles devem ser iguais. Logo,