Seja ak=(1+1k)^4. Use o teorema do binômio de Newton para encontrar o limite desta sequência, se existir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde a gente tem a sequência ak = (1 + 1k)^4. O que a gente precisa fazer é usar o Teorema do Binômio de Newton para encontrar o limite dessa sequência quando k tende ao infinito. Basicamente, vamos expandir a expressão usando o teorema e ver para onde ela está indo conforme k aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Binômio de Newton. Ele diz que (x + y)^n pode ser expandido como:
(x + y)^n = sumi=0^n binomni x^n-i y^i
No nosso caso, temos x = 1, y = 1k e n = 4. Então, vamos expandir (1 + 1k)^4 usando esse teorema.

Passo 3

Aplicando o teorema, temos:
(1 + 1k)^4 = sumi=0^4 binom4i 1^4-i (1k)^i
Vamos calcular cada termo da soma:
  • Para i = 0: binom40 cdot 1^4 cdot (1k)^0 = 1 cdot 1 cdot 1 = 1
  • Para i = 1: binom41 cdot 1^3 cdot (1k)^1 = 4 cdot 1 cdot 1k = 4k
  • Para i = 2: binom42 cdot 1^2 cdot (1k)^2 = 6 cdot 1 cdot 1k^2 = 6k^2
  • Para i = 3: binom43 cdot 1^1 cdot (1k)^3 = 4 cdot 1 cdot 1k^3 = 4k^3
  • Para i = 4: binom44 cdot 1^0 cdot (1k)^4 = 1 cdot 1 cdot 1k^4 = 1k^4

Passo 4

Agora, juntando todos os termos, a gente tem:
(1 + 1k)^4 = 1 + 4k + 6k^2 + 4k^3 + 1k^4

Passo 5

Para encontrar o limite da sequência ak quando k tende ao infinito, vamos analisar cada termo:
  • 1 permanece 1
  • 4k tende a 0 porque k está indo para o infinito
  • 6k^2 também tende a 0
  • 4k^3 tende a 0
  • 1k^4 tende a 0

Resposta

Portanto, o limite da sequência ak = (1 + 1k)^4 quando k tende ao infinito é:
limk to infty ak = 1

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